• 知识点

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  微积分初步

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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的单调性

函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-1-\sqrt 2\right)$ 上单调递减，在 $\left(-1-\sqrt 2,-1+\sqrt 2\right)$ 上单调递增，在 $\left(-1+\sqrt 2,+\infty\right)$ 上单调递减

函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x\left(-x^2-2x+1\right)=-{\rm e}^x\left(x+1+\sqrt 2\right)\left(x+1-\sqrt 2\right),\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-1-\sqrt 2\right)$ 上单调递减，在 $\left(-1-\sqrt 2,-1+\sqrt 2\right)$ 上单调递增，在 $\left(-1+\sqrt 2,+\infty\right)$ 上单调递减．

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  不等式

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  导数问题中的技巧

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  端点分析
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  利用导数研究函数的最值

$[1,+\infty)$

设函数 $\varphi(x)=ax+1-\left(1-x^2\right){\rm e}^x$，则其导函数\[\varphi'(x)=a+{\rm e}^x\left(x^2+2x-1\right),\]考虑到 $\varphi(0)=0$，$\varphi'(0)=a-1$，得到讨论分界点 $a=1$．
情形一 $a<1$．此时函数 $\varphi'(x)$ 的导函数\[\varphi''(x)={\rm e}^x\left(x^2+4x+1\right)>0,\]因此函数 $\varphi'(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，考虑到\[\begin{split}&\varphi'(0)=a-1<0,\\ &\varphi'\left(|a|+1\right)>0,\end{split}\]因此函数 $\varphi'(x)$ 在区间 $\left(0,|a|+1\right)$ 上有唯一零点，记为 $x_0$．在区间 $(0,x_0)$ 上，有 $\varphi'(x)<0$，结合 $\varphi(0)=0$，可得 $\varphi(x)<0$，不符合题意．
情形二 $a\geqslant 1$．此时\[\varphi(x)\geqslant x+1-\left(1-x^2\right){\rm e}^x=(x+1)\left(1+(x-1){\rm e}^x\right).\]设函数 $\mu(x)=(x-1){\rm e}^x$，则其导函数\[\mu'(x)=x{\rm e}^x,\]因此 $\mu(x)$ 的极小值，亦为最小值为 $\mu(0)=-1$，从而\[\forall x\geqslant 0,1+(x-1){\rm e}^x\geqslant 0,\]因此有 $\varphi(x)\geqslant 0$，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．