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已知定义在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，且 $xf'(x)-3f(x)=x^4\cdot {\rm e}^x$，$f(x)=8{\rm e}^2$，则不等式 $f(x)>{\rm e}$ 的解集为 \((\qquad)\)
A: $\left(-\infty,-\sqrt{\rm e}\right)\cup\left(\sqrt{\rm e},+\infty\right)$
B: $\left(\sqrt{\rm e},+\infty\right)$
C: $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
D: $(1,+\infty)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    导数原型
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[\left(\dfrac{f(x)}{x^3}\right)'=\left({\rm e}^x\right)',\]于是\[f(x)=x^3\left({\rm e}^x+C\right),\]考虑到 $f(2)=8{\rm e}^2$，于是 $C=0$．因此\[f(x)>{\rm e}\]即\[x^3{\rm e}^{x}>{\rm e},\]当 $x<0$ 时，$f(x)<0$；当 $x>0$ 时，$f(x)$ 单调递增，于是题中不等式的解集为 $(1,+\infty)$．
题目 答案 解析 备注
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