已知抛物线 $C:y^2=2x$，过点 $(2,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点，圆 $M$ 是以线段 $AB$ 为直径的圆．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上；标注答案略解析设 $A(2a^2,2a)$，$B(2b^2,2b)$，则\[\dfrac{2a^2\cdot 2b-2b^2\cdot 2a}{2b-2a}=-2ab=2,\]即 $ab=-1$，因此\[\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2a^2\cdot 2b^2+2a\cdot 2b=4ab(ab+1)=0,\]因此命题得证．
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设圆 $M$ 过点 $P(4,-2)$，求直线 $l$ 与圆 $M$ 的方程．标注答案当直线 $l$ 的方程为 $y=x-2$ 时，圆 $M$ 的方程为\[(x-3)^2+(y-1)^2=10.\]当直线 $l$ 的方程为 $y=-2x+4$ 时，圆 $M$ 的方程为\[\left(x-\dfrac 94\right)^2+\left(y+\dfrac 12\right)^2=\dfrac{85}{16}.\]解析根据题意，有\[\begin{split}\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}&=(2a^2-4)(2b^2-4)+(2+2a)(2+2b)\\
&=4a^2b^2-8(a^2+b^2)+4ab+4(a+b)+20\\
&=-8\left[(a+b)^2-2ab\right]+4(a+b)+20\\
&=-8(a+b)^2+4(a+b)+4\\
&=0
,\end{split}\]解得 $a+b=1$ 或 $a+b=-\dfrac 12$．而直线 $l$ 的方程为\[x=\dfrac{2a^2-2b^2}{2a-2b}y+2,\]即\[x=(a+b)y+2,\]圆 $M$ 的圆心坐标为 $\left(a^2+b^2,a+b\right)$，因此当 $a+b=1$ 时，直线 $l$ 的方程为 $y=x-2$，圆 $M$ 的圆心坐标为 $(3,1)$，圆 $M$ 的方程为\[(x-3)^2+(y-1)^2=10.\]当 $a+b=-\dfrac 12$ 时，直线 $l$ 的方程为 $y=-2x+4$，圆 $M$ 的圆心坐标为 $\left(\dfrac 94,-\dfrac 12\right)$，圆 $M$ 的方程为\[\left(x-\dfrac 94\right)^2+\left(y+\dfrac 12\right)^2=\dfrac{85}{16}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
