数列 $\{a_n\}$ 定义如下：$a_1=1$，对于每个 $n\in\mathbb N$，$a_{4n+1},a_{4n+2},a_{4n+3}$ 构成等差数列，其公差为 $2$，而 $a_{4n+3},a_{4n+4},a_{4n+5}$ 构成等比数列，其公比为 $\dfrac12$．证明：$\{a_n\}$ 为有界数列，并求出其最小上界．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{16}{3}$
【解析】
显然数列各项皆为正数，为探明数列结构，写出数列初始的一些项为$$1,3,5,\dfrac52,\dfrac54,\dfrac{13}{4},\dfrac{21}{4},\dfrac{21}{8},\dfrac{21}{16},\dfrac{53}{16},\dfrac{85}{16},\dfrac{85}{32},\dfrac{85}{64},\dfrac{213}{64},\dfrac{341}{64},$$我们发现，对于每一个 $k\in\mathbb N$，在连续五项 $a_{4n+1},a_{4n+2},a_{4n+3},a_{4n+4},a_{4n+5}$ 中，以 $a_{4n+3}$ 为最大．
改记 $4a_{4k+3}=b_k,k\in\mathbb N$，则$$b_0=5,b_1=\dfrac{21}{4},b_2=\dfrac{85}{4^2},b_3=\dfrac{341}{4^3},\cdots,$$一般地，若 $b_k=\dfrac{x_k}{4^k}$，则$$b_{k+1}=\dfrac{4x_k+1}{4^{k+1}}=\dfrac{x_k}{4^k}+\dfrac{1}{4^{k+1}}=b_k+\dfrac{1}{4^{k+1}},$$所以 $b_{k+1}-b_k=\dfrac{1}{4^{k+1}}$，于是$$b_n=(b_n-b_{n-1})+(b_{n-1}-b_{n-2})+\cdots+(b_1-b_0)+b_0=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3\cdot4^n},$$即$$a_{4n+3}=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3\cdot4^n},$$所以数列 $\{a_{4n+3}\}$ 严格单调递增．
由于对每个 $n$，$a_{4n+3}$ 是 $a_{4n+1},a_{4n+2},a_{4n+3},a_{4n+4},a_{4n+5}$ 中的最大数，所以当 $k\leqslant4n+3$ 时，$a_k\leqslant a_{4n+3}$．
又$$a_{4n+3}=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3\cdot4^n}<\dfrac{16}{3},$$因此对每个 $n\in\mathbb N$，$a_n<\dfrac{16}{3}$．
若 $c$ 是小于 $\dfrac{16}{3}$ 的任意一数，则$$\dfrac{16}{3}-c=a>0.$$由于当 $n\to+\infty$ 时，$\dfrac{1}{3\cdot 4^n}\to0$，所以总存在 $n\in\mathbb N^*$ 使得 $0<\dfrac{1}{3\cdot 4^n}<a$，这时$$a_{4n+3}=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3\cdot4^n}>\dfrac{16}{3}-a=c,$$即 $c$ 不是数列的上界，因此数列 $\{a_n\}$ 的最小上界为 $\dfrac{16}{3}$．
改记 $4a_{4k+3}=b_k,k\in\mathbb N$，则$$b_0=5,b_1=\dfrac{21}{4},b_2=\dfrac{85}{4^2},b_3=\dfrac{341}{4^3},\cdots,$$一般地，若 $b_k=\dfrac{x_k}{4^k}$，则$$b_{k+1}=\dfrac{4x_k+1}{4^{k+1}}=\dfrac{x_k}{4^k}+\dfrac{1}{4^{k+1}}=b_k+\dfrac{1}{4^{k+1}},$$所以 $b_{k+1}-b_k=\dfrac{1}{4^{k+1}}$，于是$$b_n=(b_n-b_{n-1})+(b_{n-1}-b_{n-2})+\cdots+(b_1-b_0)+b_0=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3\cdot4^n},$$即$$a_{4n+3}=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3\cdot4^n},$$所以数列 $\{a_{4n+3}\}$ 严格单调递增．
由于对每个 $n$，$a_{4n+3}$ 是 $a_{4n+1},a_{4n+2},a_{4n+3},a_{4n+4},a_{4n+5}$ 中的最大数，所以当 $k\leqslant4n+3$ 时，$a_k\leqslant a_{4n+3}$．
又$$a_{4n+3}=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3\cdot4^n}<\dfrac{16}{3},$$因此对每个 $n\in\mathbb N$，$a_n<\dfrac{16}{3}$．
若 $c$ 是小于 $\dfrac{16}{3}$ 的任意一数，则$$\dfrac{16}{3}-c=a>0.$$由于当 $n\to+\infty$ 时，$\dfrac{1}{3\cdot 4^n}\to0$，所以总存在 $n\in\mathbb N^*$ 使得 $0<\dfrac{1}{3\cdot 4^n}<a$，这时$$a_{4n+3}=\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3\cdot4^n}>\dfrac{16}{3}-a=c,$$即 $c$ 不是数列的上界，因此数列 $\{a_n\}$ 的最小上界为 $\dfrac{16}{3}$．
答案
解析
备注
