题目 已知函数 $f(x)=x-1-a\ln x$． 问题1 若 $f(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的值； 答案1 $1$ 解析1 当 $a\leqslant 0$ 时，有$$f\left({\rm e}^{-1}\right)={\rm e}^{-1}-1+a<0,$$不符合题意；<br/>当 $0<a<1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x-a}{x},$$于是在区间 $(a,1)$ 上，函数 $f(x)$ 单调递增，而 $f(1)=0$，因此在该区间上 $f(x)<0$，不符合题意；<br/>当 $a=1$ 时，容易证明 $x-1-\ln x\geqslant 0$，符合题意；<br/>当 $a>1$ 时，在区间 $(1,a)$ 上，函数 $f(x)$ 单调递减，而 $f(1)=0$，因此在该区间上 $f(x)<0$，不符合题意．<br/>综上所述，$a$ 的值为 $1$． 备注1 问题2 设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n$，有\[\left(1+\dfrac 12\right)\left(1+\dfrac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)<m,\]求 $m$ 的最小值． 答案2 $3$ 解析2 一方面，当 $n=3$ 时，有$$LHS=\dfrac 32\cdot \dfrac 54\cdot \dfrac 98=\dfrac{135}{64},$$于是 $m\geqslant 3$．<br/>另一方面，有\[\begin{split}\ln \left[\left(1+\dfrac 12\right)\left(1+\dfrac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)\right]&=\ln \left(1+\dfrac 12\right)+\ln\left(1+\dfrac 1{2^2}\right)+\cdots+\ln\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)\\<br/>&<\dfrac 12+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\\<br/>&=1-\dfrac{1}{2^n}\\<br/>&<1,<br/>\end{split}\]因此有\[\left(1+\dfrac 12\right)\left(1+\dfrac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)<{\rm e},\]因此 $m$ 可以取到 $3$．<br/>综上所述，$m$ 的最小值为 $3$． 备注2