如图1，抛物线 $y=-x^2+3x+4$ 经过 $A\left(-1,0\right)$，$B\left(4,0\right)$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$，连接 $BC$．点 $P$ 为抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$，交直线 $BC$ 于点 $G$，交 $x$ 轴于点 $E$．当 $P$ 位于 $y$ 轴右边的抛物线上运动时，过点 $C$ 作 $CF\perp $ 直线 $l$，$F$ 为垂足．当点 $P$ 运动到何处时，以 $P$，$ C $，$F$ 为顶点的三角形与 $\triangle OBC$ 相似？并求出此时点 $P$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
点 $P$ 的坐标为 $\left(2,6\right)$ 或 $\left(4,0\right)$
【解析】
因为 $ C$ 点坐标为 $\left(0,4\right)$，
所以 $\triangle BOC$ 为等腰直角三角形，且 $\angle BOC$ 为直角．
因为 $P$，$ C $，$F$ 为顶点的三角形与 $\triangle OBC$ 相似，
所以 $\triangle PCF$ 为等腰直角三角形，
又 $CF\perp $ 直线 $l$，
所以 $PF=CF$．
设 $P\left(t,-t^2+3t+4\right)\left(t>0\right)$，则 $CF=t$，
$PF=|\left(-t^2+3t+4\right)-4|=|t^2-3t|$．
所以 $t=|t^2-3t|$，
所以 $t^2-3t=\pm t$，解得 $t=2$ 或 $t=4$．
所以点 $P$ 的坐标为 $\left(2,6\right)$ 或 $\left(4,0\right)$．
所以 $\triangle BOC$ 为等腰直角三角形，且 $\angle BOC$ 为直角．
因为 $P$，$ C $，$F$ 为顶点的三角形与 $\triangle OBC$ 相似，
所以 $\triangle PCF$ 为等腰直角三角形，
又 $CF\perp $ 直线 $l$，
所以 $PF=CF$．
设 $P\left(t,-t^2+3t+4\right)\left(t>0\right)$，则 $CF=t$，
$PF=|\left(-t^2+3t+4\right)-4|=|t^2-3t|$．
所以 $t=|t^2-3t|$，
所以 $t^2-3t=\pm t$，解得 $t=2$ 或 $t=4$．
所以点 $P$ 的坐标为 $\left(2,6\right)$ 或 $\left(4,0\right)$．
答案
解析
备注
