如图，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $B$ 位于点 $A$ 右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，直线 $l$ 经过 $A,C$ 两点，点 $Q$ 在抛物线位于 $y$ 轴左侧部分上运动，直线 $m$ 经过 $B,Q$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $N$，与直线 $l$ 交于点 $G$，是否存在直线 $m$，使得直线 $l,m$ 与 $x$ 轴围成的三角形和直线 $l,m$ 与 $y$ 轴围成的三角形相似（不包括全等）？若存在，求出直线 $m$ 的解析式，若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在，$y=\dfrac{1}{3}x-1$
【解析】
如图，设直线 $m$ 交 $y$ 轴于点 $N$，交直线 $l$ 于点 $G$，
则 $\angle AGP=\angle GNC+\angle GCN$．
当 $\triangle AGB$ 和 $\triangle NGC$ 相似时，必有 $\angle AGB=\angle CGB$，
又因为 $\angle AGB+\angle CGB=180^\circ$，
所以 $\angle AGB=\angle CGB=90^\circ$，
所以 $\angle ACO=\angle OBN$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle AON$ 和 $\mathrm {Rt}\triangle NOB$ 中
$\begin{cases}\angle AOC=\angle NOB\\OC=OB\\ \angle ACO=\angle NBO\end{cases}$
所以 $\mathrm {Rt}\triangle AON\cong \mathrm {Rt}\triangle NOB\left(ASA\right)$，
所以 $ON=OA=1$，
所以 $N$ 点坐标为 $\left(0,-1\right)$．
设直线 $m$ 解析式为 $y=kx+d$，把 $B、N$ 两点坐标代入可得
$\begin{cases}3k+d=0,\\d=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\d=-1,\end{cases}$
所以直线 $m$ 解析式为 $y=\dfrac{1}{3}x-1$，
即存在满足条件的直线 $m$，其解析式为 $y=\dfrac{1}{3}x-1$．
则 $\angle AGP=\angle GNC+\angle GCN$．当 $\triangle AGB$ 和 $\triangle NGC$ 相似时，必有 $\angle AGB=\angle CGB$，
又因为 $\angle AGB+\angle CGB=180^\circ$，
所以 $\angle AGB=\angle CGB=90^\circ$，
所以 $\angle ACO=\angle OBN$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle AON$ 和 $\mathrm {Rt}\triangle NOB$ 中
$\begin{cases}\angle AOC=\angle NOB\\OC=OB\\ \angle ACO=\angle NBO\end{cases}$
所以 $\mathrm {Rt}\triangle AON\cong \mathrm {Rt}\triangle NOB\left(ASA\right)$，
所以 $ON=OA=1$，
所以 $N$ 点坐标为 $\left(0,-1\right)$．
设直线 $m$ 解析式为 $y=kx+d$，把 $B、N$ 两点坐标代入可得
$\begin{cases}3k+d=0,\\d=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\d=-1,\end{cases}$
所以直线 $m$ 解析式为 $y=\dfrac{1}{3}x-1$，
即存在满足条件的直线 $m$，其解析式为 $y=\dfrac{1}{3}x-1$．
答案
解析
备注
