题目 已知函数 $f(x)= \ln x+ax^2+(2a+1)x$． 问题1 讨论 $f(x) $ 的单调性； 答案1 当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,-\dfrac 1{2a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 1{2a},+\infty\right)$ 上单调递减；<br/>当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{(2ax+1)(x+1)}{x},\]于是当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,-\dfrac 1{2a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 1{2a},+\infty\right)$ 上单调递减；当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增． 备注1 问题2 当 $a<0$ 时，证明：$f(x) \leqslant -\dfrac 3{4a}-2$． 答案2 略 解析2 当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 的极大值，亦为最大值是\[f\left(-\dfrac{1}{2a}\right)=\ln\left(-\dfrac{1}{2a}\right)-1-\dfrac{1}{4a},\]于是问题等价于证明\[\forall a<0,\ln\left(-\dfrac{1}{2a}\right)-1-\dfrac{1}{4a}\leqslant -\dfrac 3{4a}-2,\]即\[\forall x>0,\ln x\leqslant x-1,\]这显然成立，于是原命题得证． 备注2