题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^x\cos x-x$． 问题1 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； 答案1 $y=1$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x(\cos x-\sin x)-1,$$于是所求的切线方程为\[y=f'(0)x+f(0),\]即 $y=1$． 备注1 问题2 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上的最大值和最小值． 答案2 最大值为 $1$，最小值为 $-\dfrac{\pi}2$ 解析2 函数 $f'(x)$ 的导函数$$f''(x)=-2{\rm e}^x\sin x,$$于是在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上，$f''(x)\leqslant 0$，$f'(x)$ 单调递减；又 $f'(0)=0$，于是 $f'(x)\leqslant 0$，$f(x)$ 单调递减．因此函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上的最大值为 $f(0)=1$，最小值为 $f\left(\dfrac{\pi}2\right)=-\dfrac{\pi}2$． 备注2