已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 满足 $xf'(x)+f(x)=\dfrac{\ln x}x$，且 $f({\rm e})={\rm e}^{-1}$，则不等式 $f(x)+{\rm e}>x+{\rm e}^{-1}$ 的解集是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[\left(xf(x)\right)'=\left(\dfrac 12\ln^2x\right)',\]于是\[f(x)=\dfrac{\ln^2x+C}{2x},\]又 $f({\rm e})={\rm e}^{-1}$，于是\[f(x)=\dfrac{\ln^2x+1}{2x},\]从而不等式\[f(x)+{\rm e}>x+\dfrac{1}{\rm e}\]即\[\dfrac{\ln^2x+1}{2x}-x>{\rm e}^{-1}-{\rm e},\]令不等式左侧函数为 $g(x)$，则\[g'(x)=-\dfrac{(\ln x-1)^2}{2x^2}-1<0,\]于是 $g(x)$ 单调递减，又\[g({\rm e})={\rm e}^{-1}-{\rm e},\]于是所求不等式的解集为 $(0,{\rm e})$．
题目
答案
解析
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