已知椭圆 $C$ 的两个顶点分别为 $A(-2,0)$，$B(2,0)$．焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$解析略
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点 $D$ 为 $x$ 轴上一点，过 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 于不同的两点 $M,N$．过 $D$ 作 $AM$ 的垂线交 $BN$ 于点 $E$．求证：$\triangle{BDE}$ 与 $\triangle{BDN}$ 的面积之比为 $4:5$．标注答案略解析如图．
设 $D(2\cos\theta,0)$，$M(2\cos\theta,\sin\theta)$，$N(2\cos\theta,-\sin\theta)$．取线段 $BN$ 的一个 $5$ 等分点 $E'$（$\overrightarrow{BE}=4\overrightarrow{EN}$），则 $E'$ 的坐标为\[\left(\dfrac{2+8\cos\theta}{5},\dfrac{-4\sin\theta}{5}\right),\]进而\[\overrightarrow{E'D}\cdot \overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{2\cos\theta-2}{5},\dfrac{4\sin\theta}{5}\right)\cdot \left(2\cos\theta+2,\sin\theta\right)=0,\]因此 $DE'\perp AM$，进而 $E'=E$，可得 $\triangle{BDE}$ 与 $\triangle{BDN}$ 的面积之比\[\dfrac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle BDN}}=\dfrac{BE}{BN}=\dfrac{BE'}{BN}=\dfrac 45,\]命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
