如图，已知抛物线 $x^2=y$，点 $A\left(-\dfrac 12,\dfrac 14\right)$，$B\left(\dfrac 32,\dfrac 94\right)$，抛物线上的点 $P(x,y)$（$-\dfrac 12<x<\dfrac 32$）．过点 $B$ 作直线 $AP$ 的垂线，垂足为 $Q$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求直线 $AP$ 斜率的取值范围；标注答案$(-1,1)$解析直线 $AP$ 的斜率\[k=\dfrac{x^2-\dfrac 14}{x-\left(-\dfrac 12\right)}=x-\dfrac 12,\]取值范围为 $(-1,1)$．
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求 $|PA|\cdot |PQ|$ 的最大值．标注答案$\dfrac{27}{16}$解析根据题意，有\[\begin{split}
|PA|\cdot |PQ|&=-\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PQ}\\
&=-\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\\
&=\left(x+\dfrac 12\right)\left(\dfrac 32-x\right)+\left(x^2-\dfrac 14\right)\left(\dfrac 94-x^2\right)\\
&=\left(x+\dfrac 12\right)\left(\dfrac 32-x\right)\left[1+\left(x-\dfrac 12\right)\left(\dfrac 32+x\right)\right]\\
&=\left(x+\dfrac 12\right)^3\left(\dfrac 32-x\right)\\
&=\dfrac 13\left(x+\dfrac 12\right)\left(x+\dfrac 12\right)\left(x+\dfrac 12\right)\left(\dfrac 92-3x\right)\\
&\leqslant \dfrac 13\left(\dfrac {3x+\dfrac 32+\dfrac 92-3x}{4}\right)^4\\
&=\dfrac{27}{16},
\end{split}\]等号当且仅当 $x=1$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{27}{16}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
