对于给定的正整数 $k$，若数列 $\{a_n\}$ 满足：\[a_{n-k}+a_{n-k+1}+\cdots+a_{n-1}+a_{n+1}+\cdots+a_{n+k-1}+a_{n+k}=2ka_n\]对任意正整数 $n$（$n>k$）总成立，则称数列 $\{a_n\}$ 是 $P(k)$ 数列．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：等差数列 $\{a_n\}$ 是 $P(3)$ 数列；标注答案略解析对于等差数列 $\{a_n\}$，当 $n>3$ 时，有\[a_{n-3}+a_{n+3}=a_{n-2}+a_{n+2}=a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n,\]于是\[a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=2\cdot 3a_n,\]因此 $\{a_n\}$ 是 $P(3)$ 数列．
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若数列 $\{a_n\}$ 既是 $P(2)$ 数列，又是 $P(3)$ 数列，证明：$\{a_n\}$ 是等差数列．标注答案略解析根据题意，当 $n>2$ 时，有\[\begin{split}
4a_n&=a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2},\\
4a_{n+2}&=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+3}+a_{n+4},\\
6a_{n+1}&=a_{n-2}+a_{n-1}+a_n+a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4},
\end{split}\]因此\[4a_n+4a_{n+2}-6a_{n+1}=2a_{n+1},\]也即\[a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n,\]因此数列 $\{a_n\}$ 从第 $3$ 项起为等差数列．设数列\[a_n:a_1,a_2,a_3,a_3+d,a_3+2d,a_3+3d,\cdots,\]则有\[\begin{cases}a_1+a_2+(a_3+d)+(a_3+2d)=4a_3,\\
a_2+a_3+(a_3+2d)+(a_3+3d)=4(a_3+d),\\
\end{cases}\]解得\[\begin{cases}a_1=a_3-2d,\\ a_2=a_3-d,\end{cases}\]这样就证明了数列 $\{a_n\}$ 是等差数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
