题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}ax^{2}$，$a\in\mathbb R$． 问题1 当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3,f(3))$ 处的切线方程； 答案1 $y=3x-9$ 解析1 当 $a=2$ 时，函数 $f(x)=\dfrac 13x^3-x^2$，其导函数\[f'(x)=x^2-2x,\]因此 $f(3)=0$，$f'(3)=3$，得到对应的切线方程为 $y=3x-9$． 备注1 问题2 设函数 $g(x)=f(x)+(x-a)\cos x-\sin x$，讨论 $g(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 答案2 当 $a<0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,a)$ 上单调递增，在 $(a,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=a$ 处取得极大值 $g(a)=-\dfrac 16a^3-\sin a$，在 $x=0$ 处取得极小值 $g(0)=-a$．<br/>当 $a=0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，没有极值．<br/>当 $a>0$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极大值 $g(0)=-a$，在 $x=a$ 处取得极小值 $g(a)=-\dfrac 16a^3-\sin a$ 解析2 函数 $g(x)=\dfrac 13x^3-\dfrac 12ax^2+(x-a)\cos x-\sin x$，其导函数\[g'(x)=(x-a)(x-\sin x).\]考虑到函数 $y=x-\sin x$ 是 $\mathbb R$ 上单调递增函数，且有唯一零点 $x=0$，因此得到讨论分界点 $a=0$．<br/><case>情形一</case> $a<0$．此时函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,a)$ 上单调递增，在 $(a,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=a$ 处取得极大值 $g(a)=-\dfrac 16a^3-\sin a$，在 $x=0$ 处取得极小值 $g(0)=-a$．<br/><case>情形二</case> $a=0$．此时函数 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，没有极值．<br/><case>情形三</case> $a>0$．此时函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极大值 $g(0)=-a$，在 $x=a$ 处取得极小值 $g(a)=-\dfrac 16a^3-\sin a$． 备注2