设 $a,b \in \mathbb R$，$|a| \leqslant 1$．已知函数 $f(x)=x^3-6x^2-3a(a-4)x+b$，$g(x)=\mathrm e^xf(x)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $f(x)$ 的单调区间；标注答案$f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,a)$ 和 $(4-a,+\infty)$；单调递减区间是 $(a,4-a)$解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=3(x-a)(x-(4-a)).\]而当 $|a|<1$ 时，有 $a<4-a$，于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,a)$ 和 $(4-a,+\infty)$；单调递减区间是 $(a,4-a)$．
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已知函数 $y=g(x)$ 和 $y=\mathrm e^x$ 的图象在公共点 $(x_0,y_0)$ 处有相同的切线．
（i）求证：$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数等于 $0$；
（ii）若关于 $x$ 的不等式 $g(x)\leqslant \mathrm e^x$ 在区间 $[x_0-1,x_0+1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．标注答案（i）略；（ii）$[-7,1]$解析（i）函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)={\rm e}^x\left(f(x)+f'(x)\right),\]因此\[\begin{cases} {\rm e}^{x_0}f(x_0)={\rm e}^{x_0},\\ {\rm e}^{x_0}\left(f(x_0)+f'(x_0)\right)={\rm e}^{x_0},\end{cases}\]解得 $\begin{cases} f(x_0)=1,\\ f'(x_0)=0,\end{cases}$ 因此 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数等于 $0$．
（ii）根据（i）的结果，$x=x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点．题意为\[\forall x\in [x_0-1,x_0+1],f(x)\leqslant 1,\]因此 $x=x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点，从而 $x_0=a$．考虑到\[a-1<a<a+1<4-a,\]于是 $f(x)$ 在区间 $[x_0-1,x_0+1]$ 上的最大值为 $f(a)$，题中条件等价于\[a^3-6a^2-3a^2(a-4)+b=1,\]也即\[b=2a^3-6a^2+1,\]其中 $-1\leqslant a\leqslant 1$．设函数 $\varphi(x)=2x^3-6x^2+1$，则其导函数\[\varphi'(x)=6x(x-2),\]于是 $\varphi(x)$ 在 $[-1,0)$ 上单调递增，在 $(0,1]$ 上单调递减，在 $x=0$ 处取得极大值，也为最大值，进而 $\varphi(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的值域为\[\left[\min\{\varphi(-1),\varphi(1)\},\varphi(0)\right]=[-7,1],\]因此 $b$ 的取值范围是 $[-7,1]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
