题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$． 问题1 当 $x>0$ 时，求证：$f(x)>\dfrac{2}{x+2}$； 答案1 略 解析1 令 $h(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{x+2}$，求导得$$h'(x)=\dfrac{x^2}{(1+x)(2+x)^2},$$当 $x>0$ 时，$h'(x)>0$，所以 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，于是$$h(x)>h(0)=0,$$从而欲证命题成立． 备注1 问题2 当 $x>-1$ 且 $x\ne0$ 时，不等式 $f(x)<\dfrac{1+kx}{1+x}$ 成立，求实数 $k$ 的值． 答案2 $\dfrac12$ 解析2 $f(x)<\dfrac{1+kx}{1+x}$ 可化为$$\dfrac{(1+x)\ln(1+x)-x-kx^2}{x}<0.$$令 $g(x)=(1+x)\ln(1+x)-x-kx^2$，则$$\begin{split}g'(x)&=\ln(1+x)-2kx,\\g''(x)&=\dfrac{1}{1+x}-2k,\end{split}$$当 $x>0$ 时，$$0<\dfrac{1}{1+x}<1.$$令 $2k\geqslant1$，则 $g''(x)<0$，$g'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数，$g'(x)<g'(0)=0$，所以 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数，因此$$g(x)<g(0)=0,$$所以当 $k\geqslant\dfrac12$ 时，对于 $x>0$，有$$\dfrac{(1+x)\ln(1+x)-x-kx^2}{x}<0.$$当 $-1<x<0$ 时，$$\dfrac{1}{1+x}>1.$$令 $2k\leqslant1$，则 $g''(x)>0$，$g'(x)$ 在 $(-1,0)$ 上是增函数，$g'(x)<g'(0)=0$，所以 $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 是减函数，因此$$g(x)>g(0)=0,$$所以当 $k\leqslant\dfrac12$ 时，对于 $-1<x<0$，有$$\dfrac{(1+x)\ln(1+x)-x-kx^2}{x}<0,$$因此，仅当 $k=\dfrac12$ 时，若 $x>-1$ 且 $x\ne0$，有 $f(x)<\dfrac{1+kx}{1+x}$ 成立． 备注2