题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$． 问题1 当 $x>0$ 时，求证：$f(x)>\dfrac{2}{x+2}$； 答案1 略 解析1 令 $h(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{x+2}$，求导得$$h'(x)=\dfrac{x^2}{(1+x)(2+x)^2},$$当 $x>0$ 时，$h'(x)>0$，所以 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，于是$$h(x)>h(0)=0,$$从而欲证命题成立． 备注1 问题2 当 $x>-1$ 且 $x\ne0$ 时，不等式 $f(x)<\dfrac{1+kx}{1+x}$ 成立，求实数 $k$ 的值． 答案2 $\dfrac12$ 解析2 $f(x)<\dfrac{1+kx}{1+x}$ 可化为$$\dfrac1x\left(\ln(1+x)-\dfrac{kx^2+x}{1+x}\right)<0.$$令 $g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{kx^2+x}{1+x}$，则$$g'(x)=\dfrac{-x(kx+2k-1)}{(1+x)^2},$$当 $k\geqslant\dfrac12$ 时，在 $(0,+\infty)$ 上有 $g'(x)<0$ 成立，所以 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 是减函数，因此 $g(x)<g(0)=0$，所以 $f(x)<\dfrac{1+kx}{1+x}$．<br/>当 $k\leqslant\dfrac12$ 时，在 $(-1,0)$ 上有 $g'(x)<0$ 成立，所以 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 是减函数，因此 $g(x)>g(0)=0$，所以 $f(x)<\dfrac{1+kx}{1+x}$．<br/>因此，仅当 $k=\dfrac12$ 时，若 $x>-1$ 且 $x\ne0$，有 $f(x)<\dfrac{1+kx}{1+x}$ 成立． 备注2