2012年全国高中数学联赛河南省预赛

最大值为 $\dfrac{165}{16}$，有最小值为 $\dfrac{33}{4}$

设点 $P(m,n),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则切线$$PA:\dfrac{x_1x}{4}+y_1y=1,PB:\dfrac{x_2x}{4}+y_2y=1.$$因为切线 $PA,PB$ 都过点 $P$，所以有$$\dfrac{x_1m}{4}+y_1n=1,\dfrac{x_2m}{4}+y_2n=1,$$于是直线 $AB$ 的方程为$$\dfrac{mx}{4}+ny=1,$$联立椭圆消去 $y$，得$$(4n^2+m^2)x^2-8mx+(16-16n^2)=0,$$所以\[\begin{split}&x_1+x_2=\dfrac{8mn}{4n^2+m^2},\\&x_1x_2=\dfrac{16-16n^2}{4n^2+m^2},\\&\Delta=64n^2(m^2+4n^2-4),\end{split}\]再结合 $\dfrac{mx}{4}+ny=1$，得$$y_1y_2=\dfrac{4-m^2}{4n^2+m^2},(y_1+y_2)n=\dfrac{8n^2}{4n^2+m^2},$$于是$$\begin{split}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}&=(x_1-m)(x_2-m)+(y_1-n)(y_2-n)\\ &=\dfrac{20-3m^2}{4n^2+m^2}+m^2+n^2-6.\end{split}$$因为 $m^2+n^2=16$，所以 $m^2=16-n^2$，代入上式，得$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=11-\dfrac{44}{3n^2+16}.$$又因为 $0\leqslant n^2\leqslant16$，所以当 $n^2=0,m^2=16$，即点 $P(\pm4,0)$ 时，$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 有最小值为 $\dfrac{33}{4}$，当 $n^2=16,m^2=0$，即点 $P(0,\pm4)$ 时，$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 有最大值为 $\dfrac{165}{16}$．