数列 $\{x_n\}$ 中，$x_1=1$，且 $x_{n+1}=1+\dfrac{1}{x_n+1}$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
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设 $a_n=\dfrac{1}{x_n+\sqrt2}$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\dfrac{1}{2\sqrt2}+\dfrac{3\sqrt2-4}{4}\left(\dfrac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}\right)^{n-1}$解析由题可得\[\begin{split}a_{n+1}&=\dfrac{1}{x_{n+1}+\sqrt2}\\&=\dfrac{1}{1+\frac{1}{x_n+1}+\sqrt2}\\&=\dfrac{x_n+1}{x_n+2+\sqrt2x_n+\sqrt2}\\&=\dfrac{(x_n+\sqrt2)+(1-\sqrt2)}{(x_n+\sqrt2)(1+\sqrt2)}\\&=\dfrac{1}{1+\sqrt2}+\dfrac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}\dfrac{1}{x_n+\sqrt2}\\&=\dfrac{1}{1+\sqrt2}+\dfrac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}a_n,\end{split}\]因此有$$a_{n+1}-\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}\left(a_n-\dfrac{1}{2\sqrt2}\right).$$又因为$$a_1-\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2-4}{4},$$所以数列 $\left\{a_n-\dfrac{1}{2\sqrt2}\right\}$ 是以 $\dfrac{3\sqrt2-4}{4}$ 为首项，$\dfrac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}$ 为公比的等比数列．
根据等比数列的通项公式，得$$a_n=\dfrac{1}{2\sqrt2}+\dfrac{3\sqrt2-4}{4}\left(\dfrac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}\right)^{n-1}.$$ -
设 $b_n=|x_n-\sqrt2|$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_n$，证明 $S_n<\dfrac{\sqrt2}{2}$．标注答案略解析因为$$\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\left|\dfrac{x_{n+1}-\sqrt2}{x_n-\sqrt2}\right|=(\sqrt2-1)\dfrac{1}{x_n+1}<\sqrt2-1,$$所以$$b_n<(\sqrt2-1)^n,$$因此\[\begin{split}S_n&=b_1+b_2+\cdots+b_n\\&<(\sqrt2-1)+(\sqrt2-1)^2+\cdots+(\sqrt2-1)^n\\&=\dfrac{\sqrt2-1}{2-\sqrt2}[1-(\sqrt2-1)^n]\\&<\dfrac{\sqrt2-1}{2-\sqrt2}\\&=\dfrac{\sqrt2}{2}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
