如图，设抛物线 $y=ax^2+bx-2$ 与 $x$ 轴交于两个不同的点 $A\left(-1,0\right),B\left(m,0\right)$，与 $y$ 轴交于点 $C$，已知 $\angle ACB=90^\circ$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $m$ 的值和抛物线的解析式；标注答案$y=\dfrac 12x^2-\dfrac 32x-2$解析因为 $y=ax^2+bx-2$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，
所以 $C\left(0,-2\right),OC=2$．
因为 $\angle ACB=90^\circ$，
所以 $\angle ACO+\angle OCB=90^\circ,\angle OCB+\angle CBO=90^\circ,\angle ACO=\angle CBO,$
所以 $\triangle AOC\backsim \triangle COB$，
所以 $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OC}{OB}$．
因为 $A\left(-1,0\right)$，$OA=1$，$B\left(m,0\right)$，$OB=m$，
所以 $\dfrac 12=\dfrac 2m,$ 即 $m=4$．
将 $A\left(-1,0\right)$、$B\left(4,0\right)$ 代入抛物线的解析式 $y=ax^2+bx-2$．
得 $\begin{cases}a-b-2=0,\\16a+4b-2=0.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\dfrac 12,\\b=-\dfrac 32.\end{cases}$
所以抛物线解析式为 $y=\dfrac 12x^2-\dfrac 32x-2$． -
已知点 $D\left(1,n\right)$ 在抛物线上，过点 $A$ 的直线 $y=x+1$ 交抛物线于另一点 $E$，若点 $P$ 在 $x$ 轴上，是否存在这样的点 $P$，使得以点 $P,B,D$ 为顶点的三角形与 $\triangle AEB$ 相似．标注答案存在，点 $P$ 点坐标为 $P\left(\dfrac {13}{7},0\right)$ 或 $P\left(-\dfrac {22}{5},0\right)$解析如图，点 $D\left(1,n\right)$ 在 $y=\dfrac 12x^2-\dfrac 32x-2$ 上，代入解得 $n=-3$，
所以 $D\left(1,-3\right),B\left(4,0\right),$
作 $DH\perp x$ 轴于 $H$，$EG\perp x$ 轴于 $G$，
由 $\begin{cases}y=x+1,\\y=\dfrac 12x^2-\dfrac 32x-2.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=6,\\y=7.\end{cases}$ 即 $E\left(6,7\right)$．
则 $OH=1,DH=HB=3,EG=7,AG=7,$
所以 $\angle ABD=45^\circ,BD=3\sqrt 3,\angle EAB=45^\circ,AE=7\sqrt 2,$
所以 $\angle EAB=\angle DBP.$
$\triangle PBD$ 与 $\triangle AEB$ 相似存在两种情况：
① 当 $\triangle ABE\backsim \triangle BPD$ 时，
$\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BP}{BD}$，即 $\dfrac{5}{7\sqrt 2}=\dfrac{BP}{3\sqrt 2}$
得 $BP=\dfrac{15}{7}$，$OP=\dfrac{13}{7}$，
所以 $P\left(\dfrac {13}{7},0\right)$．
② 当 $\triangle ABE\backsim \triangle BDP$ 时，
如图，$\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BD}{BP}$，即 $\dfrac{5}{7\sqrt 2}=\dfrac{3\sqrt 2}{BP}$，
得 $BP=\dfrac{42}{5},OP=\dfrac{22}{5},$
所以 $P\left(-\dfrac {22}{5},0\right)$．
综上所述，$P$ 点坐标为 $P\left(\dfrac {13}{7},0\right)$ 或 $P\left(-\dfrac {22}{5},0\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
