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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=-\dfrac 34x^2+bx+c$ 交 $x$ 轴 $A\left(4,0\right),B\left(-1,0\right)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    代几综合
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    相似三角形的存在性
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    代几综合
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    相似三角形的存在性
  1. 求抛物线的解析式和对称轴；
    标注
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      代几综合
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      相似三角形的存在性
    答案
    抛物线解析式为 $y=-\dfrac 34x^2+\dfrac 94x+3$，抛物线的对称轴为直线 $x=\dfrac 32$
    解析
    因为抛物线 $y=-\dfrac 34x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A\left(4,0\right)$、$B\left(-1,0\right)$ 两点，
    所以 $y=-\dfrac 34\left(x-4\right)\left(x+1\right)=-\dfrac 34x^2+\dfrac 94x+3$．
    抛物线的对称轴为直线 $x=\dfrac 32$．
  2. 若点 $P$ 是线段 $OA$ 上一点（点 $P$ 不与点 $O$ 和点 $A$ 重合），点 $Q$ 是 $AC$ 上一点，且 $PQ=PA$，在 $x$ 轴上是否存在一点 $D$，使得 $\triangle ACD$ 与 $\triangle APQ$ 相似，如果存在，请求出点 $D$ 的坐标；如不存在，请说明理由．
    标注
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      代几综合
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      相似三角形的存在性
    答案
    存在，点 $D$ 的坐标为 $\left(-4,0\right)$ 或 $\left(\dfrac 78,0\right)$
    解析
    由 $A\left(4,0\right)$、$C\left(0,3\right)$，得 $OA=4$，$OC=3$．
    所以 $AC=5,\cos A=\dfrac 45.$
    如图，作 $PH\perp AC$，垂足为 $H$．
    在 ${ \mathrm {Rt}}\triangle PAH$ 中，$\cos A=\dfrac{AH}{AP}=\dfrac 45.$
    在 $\triangle PAQ$ 中，因为 $PA=PQ$，所以 $AQ=2AH.$
    所以 $PA:AQ=5:8.$如果 $\triangle ACD$ 与 $\triangle APQ$ 相似，那么 $\triangle ACD$ 也是等腰三角形．
    ① 如图，当 $AD$ 为底边时，$D$、$A$ 关于 $y$ 轴对称，此时点 $D$ 的坐标为 $\left(-4,0\right)$．② 如图，当 $AC$ 为底边时，$\dfrac{DA}{AC}=\dfrac 58$．所以 $DA=\dfrac{25}{8}$．此时点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac 78,0\right)$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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