数学活动课上，某学习小组对有一内角为 $120^{\circ}$ 的平行四边形 $ABCD$（$\angle BAD=120^{\circ}$）进行探究：将一块含 $60^{\circ}$ 的直角三角板如图放置在平行四边形 $ABCD$ 所在平面内旋转，且 $60^{\circ}$ 角的顶点始终与点 $C$ 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段 $AB,AD$ 于点 $E,F$（不包括线段的端点）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
初步尝试
如图 1，若 $AD=AB$，求证：
（i）$ \triangle BCE\cong\triangle ACF $；
（ii）$ AE+AF=AC $；标注答案略解析（i）因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\angle BAD=120^\circ$，
所以 $\angle D=\angle B=60^\circ$．
因为 $AD=AB$，
所以 $\triangle ABC,\triangle ACD$ 都是等边三角形，
从而 $\angle B=\angle CAD=60^\circ$，$\angle ACB=60^\circ$，$BC=AC$．
因为 $\angle ECF=60^\circ$，
所以 $\angle BCE+\angle ACE=\angle ACF+\angle ACE=60^\circ$，
所以 $\angle BCE=\angle ACF$．
所以 $\triangle BCE\cong\triangle ACF$．
（ii）因为 $\triangle BCE\cong\triangle ACF$，
所以 $BE=AF$，
所以 $AE+AF=AE+BE=AB=AC$． -
类比发现
如图 2，若 $AD=2AB$，过点 $C$ 作 $CH\perp AD$ 于点 $H$，求证：$AE=2FH$；标注答案略解析设 $DH=x$，由题意可得 $CD=2x$，$CH=\sqrt{3}x$，
所以 $AD=2AB=4x$，
所以 $AH=AD-DH=3x$．
因为 $CH\perp AD$，
所以 $AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=2\sqrt{3}x$，
从而 $AC^2+CD^2=AD^2$，
所以 $\angle ACD=90^\circ$，
所以 $\angle BAC=\angle ACD=90^\circ$，
所以 $\angle CAD=30^\circ$，
所以 $\angle ACH=60^\circ$．
因为 $\angle ECF=60^\circ$，
所以 $\angle HCF=\angle ACE$，
所以 $\triangle ACE\backsim\triangle HCF$，
所以 $\dfrac{AE}{FH }=\dfrac{AC}{ CH}=2$，
所以 $AE=2FH$． -
深入探究
如图 3，若 $AD=3AB$，探究得：$\dfrac{AE+3AF}{AC }$ 的值为常数 $t$，则 $t=$
因为 $\angle ECF+\angle EAF=180^\circ$，
所以 $\angle AEC+\angle AFC=180^\circ$．
因为 $\angle AFC+\angle CFN=180^\circ$，
所以 $\angle CFN=\angle AEC$．
因为 $\angle M=\angle CNF=90^\circ$，
所以 $\triangle CFN\backsim\triangle CEM$，
所以 $\dfrac{CN}{CM }=\dfrac{FN}{EM }$．
因为 $AB\cdot CM=AD\cdot CN$，$AD=3AB$，
所以 $CM=3CN$，
所以 $\dfrac{CN}{CM }=\dfrac{FN}{EM }=\dfrac13$．
设 $CN=a$，$FN=b$，则 $CM=3a$，$EM=3b$．
因为 $\angle MAH=60^\circ$，$\angle M=90^\circ$，
所以 $\angle AHM=\angle CHN=30^\circ$，
所以 $HC=2a$，$HM=a$，$HN=\sqrt{3}a$，
所以 $AM=\dfrac{\sqrt{3}}{3 }a$，$AH=\dfrac{2\sqrt{3}}{3 }a$，
所以 $AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}a$，
$\begin{split}AE+3AF&=\left(EM-AM\right)+3\left(AH+HN-FN\right)\\&=EM-AM+3AH+3HN-3FN\\&=3AH+3HN-AM\\&=\dfrac{14\sqrt{3}}{3}a.\end{split}$
从而 $\dfrac{AE+3AF}{AC}=\dfrac{\dfrac{14\sqrt{3}}{3}a}{\dfrac{2\sqrt{21}}{3}a}=\sqrt{7}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
