如图，把 $\triangle EFP$ 按图所示的方式放置在菱形 $ABCD$ 中，使得顶点 $E,F,P$ 分别在线段 $AB,AD,AC$ 上．已知 $EP=FP=4$，$EF=4\sqrt 3$，$\angle BAD=60^\circ$，且 $AB>4\sqrt 3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若 $AP=6$，求 $AE+AF$ 的值；标注答案$AE+AF=6\sqrt 3$解析如图，作 $PM\perp AB,PN\perp AD$，垂足分别为点 $M,N$．
因为在菱形 $ABCD$ 中，$\angle DAC=\angle BAC$，
所以点 $P$ 到 $AB$，$AD$ 两边的距离相等，即 $PM=PN$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle PME$ 和 $\mathrm {Rt}\triangle PNF$ 中，
因为 $PM=PN$，$PE=PF$，
所以 $\mathrm {Rt}\triangle PME\cong\mathrm {Rt}\triangle PNF$，
所以 $FN=EM$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle PMA$ 中，$\angle PMA=90^\circ$，$\angle PAM=\dfrac 12\angle DAB=30^\circ$，
所以 $AM=AP\cdot \cos 30^\circ=3\sqrt 3$．
同理可得 $AN=3\sqrt 3$，
所以 $AE+AF=\left(AM-EM\right)+\left(AN+NF\right)=AM+AN=6\sqrt 3$． -
若 $\triangle EFP$ 的三个顶点 $E,F,P$ 分别在线段 $AB,AD,AC$ 上运动，请直接写出 $AP$ 长的最大值和最小值．标注答案$AP$ 的最大值为 $8$，$AP$ 的最小值为 $4$解析如图，过点 $P$ 作 $PG\perp EF$，垂足为点 $G$．
$\because PE=PF$，$PG\perp EF$，
$\therefore FG=EG=2\sqrt 3$，$\angle FPG=\angle EPG=\dfrac 12\angle EPF$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle FPG$ 中，$\sin \angle FPG=\dfrac{FG}{PF}=\dfrac{2\sqrt 3}{4}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$，
$\therefore\angle FPG=60^\circ$，
$\therefore\angle EPF=2\angle FPG=120^\circ$．
① 当点 $A,P$ 在 $EF$ 的同侧时．
如图，作 $PM\perp AB,PN\perp AD$，垂足分别为点 $M,N$．
易证 $\mathrm {Rt}\triangle PME\cong\mathrm {Rt}\triangle PNF$，
所以 $\angle AEP=\angle AFP$，
所以 $\angle AEF=\angle AFE$，
所以 $\triangle AEF$ 为等边三角形，
从而 $PA=PE=PF=4$．
② 当点 $A,P$ 在 $EF$ 的异侧时．
如图，过点 $P$ 作 $PM\perp AB$ 于点 $M$．
则 $AP=2PM$．
而 $PM\leqslant PE=4$，所以 $PM$ 的最大值为 $4$，
此时点 $E,M$ 重合，即 $\angle PEA=\angle PFA=90^\circ $，
所以 $AP$ 的最大值为 $8$．
若 $\angle PEA\ne \angle PFA$，而 $\angle AEP+\angle AFP=180^\circ$，
所以 $\angle AEP$ 和 $\angle AFP$ 中必有一个角大于 $90^\circ$，
从而 $AP\geqslant PE$ 或 $AP\geqslant PF$，
所以 $AP\geqslant 4$，
即 $AP$ 的最小值为 $4$，此时点 $E,A$ 重合，或者点 $F,A$ 重合．
综上可得，$AP$ 的最大值为 $8$，$AP$ 的最小值为 $4$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
