命题“若 $m>1$，则关于 $x$ 的不等式 $mx^2+(2m-2)x-1>0$ 的解集为 $\mathbb{R}$”的否定是什么？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
“虽然 $m>1$，但关于 $x$ 的不等式 $mx^2+(2m-2)x-1>0$ 的解集不为 $\mathbb{R}$”
【解析】
注意到 $p\to q$ 的真值表：$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
p & q & p\to q \\ \hline
真 & 真 & 真 \\ \hline
真 & 假 & 假 \\ \hline
假 & 真 & 真 \\ \hline
假 & 假 & 真 \\ \hline
\end{array}$$$\neg p\lor q$ 的真值表：$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
p & q & \neg p\lor q \\ \hline
真 & 真 & 真 \\ \hline
真 & 假 & 假 \\ \hline
假 & 真 & 真 \\ \hline
假 & 假 & 真 \\ \hline
\end{array}$$我们有 $p\to q$ 等价于 $\neg p\lor q$，故\[
\neg\left(p\to q\right)\Leftrightarrow\neg\left(\neg p\lor q\right)\Leftrightarrow p\land\neg q.\]所以命题“若 $m>1$，则关于 $x$ 的不等式 $mx^2+(2m-2)x-1>0$ 的解集为 $\mathbb{R}$”的否定是“虽然 $m>1$，但关于 $x$ 的不等式 $mx^2+(2m-2)x-1>0$ 的解集不为 $\mathbb{R}$”．
p & q & p\to q \\ \hline
真 & 真 & 真 \\ \hline
真 & 假 & 假 \\ \hline
假 & 真 & 真 \\ \hline
假 & 假 & 真 \\ \hline
\end{array}$$$\neg p\lor q$ 的真值表：$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
p & q & \neg p\lor q \\ \hline
真 & 真 & 真 \\ \hline
真 & 假 & 假 \\ \hline
假 & 真 & 真 \\ \hline
假 & 假 & 真 \\ \hline
\end{array}$$我们有 $p\to q$ 等价于 $\neg p\lor q$，故\[
\neg\left(p\to q\right)\Leftrightarrow\neg\left(\neg p\lor q\right)\Leftrightarrow p\land\neg q.\]所以命题“若 $m>1$，则关于 $x$ 的不等式 $mx^2+(2m-2)x-1>0$ 的解集为 $\mathbb{R}$”的否定是“虽然 $m>1$，但关于 $x$ 的不等式 $mx^2+(2m-2)x-1>0$ 的解集不为 $\mathbb{R}$”．
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解析
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