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$\cos^5\dfrac{\pi}9+\cos^5\dfrac{5\pi}9+\cos^5\dfrac{7\pi}9$ 的值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{15}{32}$
B: $\dfrac{15}{16}$
C: $\dfrac 8{15}$
D: $\dfrac{16}{15}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    函数
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    根与系数的关系
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    三次方程的韦达定理
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    代数变形
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    代数式的次
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    降次
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    三角
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    三角恒等变换
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    和差化积与积化和差公式
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    三角
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    三角恒等变换
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    二倍角公式
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    三角
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    三角恒等变换
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    三倍角公式
【答案】
A
【解析】
因此 $\cos\dfrac{\pi}9,\cos\dfrac{5\pi}9,\cos\dfrac{7\pi}9$ 是关于 $x$ 的方程\[x^3-\dfrac 34x-\dfrac 18=0\]的三个实根，从而\[x^5=x^2\left(\dfrac 34x-\dfrac 18\right)=\dfrac 18x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac 3{32},\]因此\[x_1^5+x_2^5+x_3^5=\dfrac 18(A^2-2B)+\dfrac 9{16}A+\dfrac{9}{32}=\dfrac{15}{32}.\]
题目 答案 解析 备注
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