题目 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+\ln{(x+1)}$． 问题1 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(0,f(0)\right)$ 处的切线方程； 答案1 $y=2x+1$ 解析1 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(0,f(0)\right)$ 处的切线方程为 $y=2x+1$． 备注1 问题2 当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant ax+1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $(-\infty,2]$ 解析2 实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$，证明如下．<br/>令 $g(x)=f(x)-ax-1=\mathrm{e}^x+\ln{(x+1)}-ax-1$，则 $g'(x)=\mathrm{e}^x+\dfrac{1}{x+1}-a$，由于\[g''(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{(x+1)^2}\geqslant 0,\]当且仅当 $x=0$ 时等号成立，故 $g'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，所以\[g'(x) \geqslant g'(0)=2-a \geqslant 0,\]故 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，所以\[g(x) \geqslant g(0)=0.\]证毕． 备注2