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过椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的右焦点 $F_2$ 作一条直线交椭圆于 $A,B$，则 $\triangle F_1AB$ 的内切圆面积可能是 \((\qquad)\)
A: $1$
B: $2$
C: $3$
D: $4$
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
    >
    椭圆的焦点弦长
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    面积计算
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线中的参数取值及范围问题
【答案】
AB
【解析】
记椭圆半长轴、半短轴、半焦距分别为 $a,b,c$，设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则根据椭圆的焦点弦长公式，有\[AB=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta}=\dfrac{12}{3+\sin^2\theta},\]有 $\triangle ABC$ 的周长为 $8$，于是 $\triangle F_1AB$ 的内切圆面积\[S=\pi\cdot \left(\dfrac{AB\cdot F_1F_2\cdot \sin\theta}{8}\right)^2=\pi\cdot \left(\dfrac{3\sin\theta}{3+\sin^2\theta}\right)^2,\]其取值范围是 $\left(0,\dfrac{3\pi}{4}\right]$，而 $\dfrac{3\pi}{4}=2.3\cdots$，于是选项 AB 符合题意．
题目 答案 解析 备注
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