已知 $n\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $n \geqslant 2$，求证：$\cos{\dfrac{1}{2}}\cos{\dfrac{1}{3}}\cdots\cos{\dfrac{1}{n}}>\dfrac{2}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $\cos x>1-\dfrac 12x^2$，有\[\begin{split}
\cos{\dfrac{1}{2}}\cos{\dfrac{1}{3}}\cdots\cos{\dfrac{1}{n}}
&\geqslant\left(1-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n^2}\right)\\
&\geqslant 1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right)\\
&>1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}\right)\\
&>\dfrac{2}{3}.
\end{split}\]
\cos{\dfrac{1}{2}}\cos{\dfrac{1}{3}}\cdots\cos{\dfrac{1}{n}}
&\geqslant\left(1-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n^2}\right)\\
&\geqslant 1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right)\\
&>1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}}\right)\\
&>\dfrac{2}{3}.
\end{split}\]
答案
解析
备注
