已知 $n\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $n \geqslant 2$，求证：$\cos{\dfrac{1}{2}}\cos{\dfrac{1}{3}}\cdots\cos{\dfrac{1}{n}}>\dfrac{2}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}
\cos{\dfrac{1}{2}}\cos{\dfrac{1}{3}}\cdots\cos{\dfrac{1}{n}}
&=\sqrt{1-\sin^2{\dfrac{1}{2}}}\cdot\sqrt{1-\sin^2{\dfrac{1}{3}}}\cdot\cdots\cdot\sqrt{1-\sin^2{\dfrac{1}{n}}}\\
&>\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)}\\
&=\sqrt{\dfrac{n+1}{2n}}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}>\dfrac{2}{3}.
\end{split}\]
\cos{\dfrac{1}{2}}\cos{\dfrac{1}{3}}\cdots\cos{\dfrac{1}{n}}
&=\sqrt{1-\sin^2{\dfrac{1}{2}}}\cdot\sqrt{1-\sin^2{\dfrac{1}{3}}}\cdot\cdots\cdot\sqrt{1-\sin^2{\dfrac{1}{n}}}\\
&>\sqrt{\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)}\\
&=\sqrt{\dfrac{n+1}{2n}}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}>\dfrac{2}{3}.
\end{split}\]
答案
解析
备注
