椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$P,Q$ 是椭圆上两点且 $OP\perp OQ$，下列说法正确的有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（一测，回忆版）
【标注】
【答案】
CD
【解析】
根据椭圆的内准圆的性质，有 $O$ 到 $PQ$ 的距离 $d$ 为定值，且满足\[\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{|OP|^2}+\dfrac{1}{|OQ|^2},\]于是 $|OP|\cdot |OQ|$ 与 $|OP|+|OQ|$ 均不为定值．
设 $OP=x$，$x\in [b,a]$，则\[|PQ|=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-d^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{-\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\cdot \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{x^2}}},\]因此 $|PQ|$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}},\sqrt{a^2+b^2}\right]$．
设 $OP=x$，$x\in [b,a]$，则\[|PQ|=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-d^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{-\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\cdot \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{x^2}}},\]因此 $|PQ|$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}},\sqrt{a^2+b^2}\right]$．
题目
答案
解析
备注
