已知 $x,y,z$ 为正实数，$f(x,y,z)=\min\left\{\dfrac{2}{x},\dfrac{2z}{y},x^2+2xy,\dfrac{x}{z}\right\}$，求 $f(x,y,z)$ 的最大值，指出 $f(x,y,z)$ 取到最大值时 $x,y,z$ 的值，并给出证明．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
由题意，有$$f^2\leqslant \dfrac{2z}{y}\cdot\dfrac{x}{z}=\dfrac{2x}{y},$$且$$f^3\leqslant\left(\dfrac{2}{x}\right)^2\cdot\left(x^2+2xy\right)=4+\dfrac{8y}{x}.$$不妨假设 $f^3>4$．由\[\begin{cases}
0<f^2\leqslant \dfrac{2x}{y},\\
0<f^3-4\leqslant\dfrac{8y}{x},
\end{cases}\]有 $f^5-4f^2-16 \leqslant 0$，即\[
(f-2)\left(f^4+2f^3+4f^2+4f+8\right)\leqslant 0,\]所以 $f \leqslant 2$，当且仅当 $(x,y,z)=\left(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ 时等号成立．所以 $f(x,y,z)$ 的最大值是 $2$．
0<f^2\leqslant \dfrac{2x}{y},\\
0<f^3-4\leqslant\dfrac{8y}{x},
\end{cases}\]有 $f^5-4f^2-16 \leqslant 0$，即\[
(f-2)\left(f^4+2f^3+4f^2+4f+8\right)\leqslant 0,\]所以 $f \leqslant 2$，当且仅当 $(x,y,z)=\left(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ 时等号成立．所以 $f(x,y,z)$ 的最大值是 $2$．
答案
解析
备注
