求证：$\mathrm{e}^x-\ln (x+2)>\dfrac{1}{6} $ 对于任意实数 $x$ 恒成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $f(x)=\mathrm{e}^x-\ln (x+2)$，则其导函数$$f'(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{x+2}.$$令 $f'(x)=0$，易知有唯一的 $-1<t<0$，使得 $f'(t)=0$．
进一步分析可知，$f(x)\geqslant f(t)$．而$$f(t)=\mathrm{e}^t-\ln (t+2)=\dfrac{1}{t+2}+t,$$在 $(-1,0)$ 上单调递增，由于$$f'\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{\mathrm{e}} }-\dfrac{2}{3}<0 ,$$可知 $t>-\dfrac{1}{2}$．所以$$f(t)>f\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{6}.$$
进一步分析可知，$f(x)\geqslant f(t)$．而$$f(t)=\mathrm{e}^t-\ln (t+2)=\dfrac{1}{t+2}+t,$$在 $(-1,0)$ 上单调递增，由于$$f'\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{\mathrm{e}} }-\dfrac{2}{3}<0 ,$$可知 $t>-\dfrac{1}{2}$．所以$$f(t)>f\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{6}.$$
答案
解析
备注
