设 $\overrightarrow{a}=\left(1+\cos{\alpha},\sin{\alpha}\right)$，$\overrightarrow{b}=\left(1-\cos{\beta},\sin{\beta}\right)$，$\alpha\in(0,\pi)$，$\beta\in(\pi,2\pi)$，$\overrightarrow{a}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角为 $\theta_1$，$\overrightarrow{b}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角为 $\theta_2$，且 $\theta_1+\theta_2=\dfrac{\pi}{3}$，求 $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 3$
【解析】
在平面直角坐标系中，设点 $O$ 坐标为 $(0,0)$，点 $C$ 坐标为 $(2,0)$，点 $D$ 坐标为 $(1,0)$，设 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{\alpha}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{\beta}$，则点 $A\left(1+\cos{\alpha},\sin{\alpha}\right)$ 在圆 $D:(x-1)^2+y^2=1$ 的上半部分（不包括点 $O$ 与点 $C$），则点 $B\left(1-\cos{\beta},\sin{\beta}\right)$ 在圆 $D:(x-1)^2+y^2=1$ 的下半部分（不包括点 $O$ 与点 $C$）．
由题意，$\angle AOC=\theta_1,\angle BOC=\theta_2$，故 $\angle AOB=\dfrac{\pi}{3}$．所以在 $\triangle ABD$ 中，我们有\[
\angle ADB=\dfrac{2\pi}{3},|OA|=|OB|,\]因此\[
\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=|AB|=\sqrt{3}.\]
由题意，$\angle AOC=\theta_1,\angle BOC=\theta_2$，故 $\angle AOB=\dfrac{\pi}{3}$．所以在 $\triangle ABD$ 中，我们有\[
\angle ADB=\dfrac{2\pi}{3},|OA|=|OB|,\]因此\[
\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=|AB|=\sqrt{3}.\]
答案
解析
备注
