已知 $\sin 2\left( {\alpha+\gamma } \right) = n\sin 2\beta $，则 $\dfrac{{\tan \left({\alpha+\beta+\gamma } \right)}}{{\tan \left({\alpha-\beta+\gamma } \right)}}= $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年清华大学夏令营试题
【标注】
【答案】
D
【解析】
原问题即已知 $\sin 2\alpha = n\sin 2\beta$，求 $\dfrac{\tan \left({\alpha+\beta }\right)}{\tan \left( {\alpha-\beta } \right)}$．
也即已知 $\sin\left({\alpha+\beta}\right)=n\sin\left({\alpha- \beta }\right)$，求 $\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}$．
因为$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta = n\left({\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}\right),$$所以$$\left({n-1}\right)\sin\alpha\cos\beta = \left( {n+1} \right)\cos\alpha \sin \beta ,$$于是 $\tan \alpha = \dfrac{n+1}{n-1}\tan\beta$．
也即已知 $\sin\left({\alpha+\beta}\right)=n\sin\left({\alpha- \beta }\right)$，求 $\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}$．
因为$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta = n\left({\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}\right),$$所以$$\left({n-1}\right)\sin\alpha\cos\beta = \left( {n+1} \right)\cos\alpha \sin \beta ,$$于是 $\tan \alpha = \dfrac{n+1}{n-1}\tan\beta$．
题目
答案
解析
备注
