已知正实数 $a,b$ 满足 $a^2+b^2=1$，且 $a^3+b^3+1=m(a+b+1)^3$，求 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{3\sqrt2-4}{2},\dfrac14\right)$
【解析】
令 $a=\cos\theta,b=\sin\theta,0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$，则$$m=\dfrac{\cos^3\theta+\sin^3\theta+1}{(\cos\theta+\sin\theta+1)^3}=\dfrac{(\cos\theta+\sin\theta)(\cos^2\theta-\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta)+1}{(\cos\theta+\sin\theta+1)^3},$$令 $x=\cos\theta+\sin\theta$，则 $x=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\in(1,\sqrt2]$，且$$\cos\theta\sin\theta=\dfrac{x^2-1}{2},$$于是$$m=\dfrac{2+3x-x^3}{2(x+1)^3}=\dfrac{2+x-x^2}{2(x+1)^2}=\dfrac{3}{2(x+1)}-\dfrac12.$$因为函数 $f(x)=\dfrac{3}{2(x+1)}-\dfrac12$ 在 $(1,\sqrt2]$ 上单调递减，所以$$f(\sqrt2)\leqslant m<f(1),$$又$$f(1)=\dfrac14,f(\sqrt2)=\dfrac{3\sqrt2-4}{2},$$所以 $m\in\left[\dfrac{3\sqrt2-4}{2},\dfrac14\right)$．
答案
解析
备注
