已知抛物线 $C:y^2=4x$，以 $M(1,2)$ 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 $MAB$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：直线 $AB$ 过定点；标注答案略解析设直线 $AB$ 的方程为 $x=my+n$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，直线 $AB$ 方程与抛物线方程联立得$$y^2-4my-4n=0,$$所以$$\begin{cases}y_1+y_2=4m,\\ y_1y_2=-4n.\end{cases}$$因为 $\angle{AMB}=90^{\circ}$，所以 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$，即$$(x_1-1)(x_2-1)+(y_1-2)(y_2-2)=0.$$所以\[(my_1+n-1)(my_2+n-1)+(y_1-2)(y_2-2)=0,\]整理得$$(m^2+1)y_1y_2+(mn-m-2)(y_1+y_2)+(n-1)^2+4=0,$$代入韦达定理整理得$$(n-3)^2=4(m+1)^2,$$所以 $n-3=2(m+1)$ 或 $n-3=-2(m+1)$．
当 $n-3=2(m+1)$，即 $n=2m+5$ 时，直线 $AB$ 的方程为 $x=m(y+2)+5$ 过定点 $P(5,-2)$；
当 $n-3=-2(m+1)$，即 $n=-2m+1$ 时，直线 $AB$ 的方程为 $x=m(y-2)+1$ 过点 $M(1,2)$ 不合题意．
故直线 $AB$ 过定点 $P(5,-2)$． -
过点 $M$ 作 $AB$ 的垂线交 $AB$ 于点 $N$，求点 $N$ 的轨迹方程．标注答案$(x-3)^2+y^2=8$ $(x\ne 1)$解析由（1）知，点 $N$ 的轨迹是以 $PM$ 为直径的圆（除去点 $(1,\pm 2)$），其方程为 $(x-3)^2+y^2=8$ $(x\ne 1)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
