题目 如图，反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y=\dfrac{1}{4}x$ 的图象交于点 $A,B$，点 $B$ 的横坐标是 $4$．点 $P$ 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 $AB$ 的上方．<br><img src="/static/images/6243813423f15c1c430374b953bd2b77.png" class="img-responsive" /> 问题1 若点 $P$ 的坐标是 $\left(1,4\right)$，直接写出 $k$ 的值和 $\triangle PAB$ 的面积； 答案1 $k=4$，$\triangle PAB$ 的面积为 $15$ 解析1 如图，过点 $A$ 作 $AR\perp y$ 轴于 $R$，过点 $P$ 作 $PS\perp y$ 轴于 $S$，连接 $PO$，令 $AP$ 与 $y$ 轴交于点 $C$．<img src="/static/images/0331243b2c519f3fa0a3816e476860ec.png" class="img-responsive" />把 $x=4$ 代入 $y=\dfrac14x$，得到点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$，<br/>把点 $D\left(4,1\right)$ 代入 $y=\dfrac kx$ 得 $k=4$．<br/>解方程组 $\begin{cases}y=\dfrac14x,\\y=\dfrac4x,\end{cases}$ 得到点 $A$ 的坐标为 $\left(-4,-1\right)$，<br/>则点 $A$ 与点 $B$ 关于原点对称，即 $OA=OB$．<br/>$\therefore S_{\triangle PAB}=2S_{\triangle AOP}=2S_{\triangle BOP}$．<br/>设直线 $AP$ 的解析式为 $y=mx+n$．<br/>把点 $A\left(-4,-1\right),P\left(1,4\right)$ 的坐标代入解析式，<br/>求得直线 $AP$ 解析式为 $y=x+3$，<br/>则点 $C$ 的坐标为 $\left(0,3\right)$，$OC=3$．<br/>$\begin{split}\text{所以}S_{\triangle AOP}&=S_{\triangle AOC}+S_{POC}\\&=\dfrac12OC\cdot AR+\dfrac12OC\cdot PS\\&=\dfrac12\times3\times4+\dfrac12\times3\times1\\&=\dfrac{15}{2},\end{split}$<br/>从而 $S_{\triangle PAB}=2S_{\triangle AOP}=15$． 备注1 问题2 设直线 $PA,PB$ 与 $x$ 轴分别交于点 $M,N$，求证：$\triangle PMN $ 是等腰三角形； 答案2 略 解析2 如图，过点 $P$ 作 $PH\perp x$ 轴．<img src="/static/images/bbb26e44c08e792915a0cf8c51951bf4.png" class="img-responsive" />设直线 $PB$ 的解析式为 $y=ax+b$，<br/>把点 $P\left(1,4\right),B\left(4,1\right)$ 代入解析式得 $\begin{cases}a+b=4,\\4a+b=1,\end{cases}$<br/>解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=5,\end{cases}$<br/>所以直线 $PB$ 的解析式为 $y=-x+5$．<br/>当 $y=0$ 时，得 $x=5$，所以点 $N\left(5,0\right)$．<br/>同理可得点 $M\left(-3,0\right)$．<br/>所以 $MH=1-\left(-3\right)=4$，$NH=5-1=4$，<br/>即 $MH=NH$，<br/>所以 $PH$ 垂直平分 $MN$，<br/>所以 $PM=PN$，<br/>所以 $\triangle PMN$ 是等腰三角形． 备注2 问题3 设点 $Q$ 是反比例函数图象上位 于 $P,B$ 之间的动点（与点 $P,B$ 不重合），连接 $AQ,BQ$，比较 $\angle PAQ$ 与 $\angle PBQ$ 的大小，并说明理由． 答案3 $\angle PAQ=\angle PBQ$ 解析3 如图，过点 $Q$ 作 $QT\perp x$ 轴于点 $T$，设 $AQ$ 交 $x$ 轴于点 $D$，$QB$ 的延长线交 $x$ 轴于点 $E$．<img src="/static/images/224e1d40964604d80af57bb7ec93b2b6.png" class="img-responsive" />可设点 $Q$ 为 $\left(c,\dfrac4c\right)$，直线 $AQ$ 的解析式为 $y=px+q$，<br/>则有 $\begin{cases}-4p+q=-1,\\cp+q=\dfrac4c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}p=\dfrac1c,\\q=\dfrac4c-1.\end{cases}$<br/>所以直线 $AQ$ 的解析式为 $y=\dfrac1cx+\dfrac4c-1$．<br/>当 $y=0$ 时，$\dfrac1cx+\dfrac4c-1=0$，解得 $x=c-4$，<br/>所以点 $D\left(c-4,0\right)$．<br/>同理可得 $E\left(c+4,0\right)$，<br/>所以 $DT=c-\left(c-4\right)=4$，$ET=c+4-c=4$，<br/>所以 $DT=ET$，<br/>所以 $QT$ 垂直平分 $DE$，<br/>所以 $QD=QE$，<br/>所以 $\angle QDE=\angle QED$．<br/>因为 $\angle MDA=\angle QDE$，<br/>所以 $\angle MDA=\angle QED$．<br/>因为 $PM=PN $，<br/>所以 $\angle PMN=\angle PNM$．<br/>因为 $\angle PAQ=\angle PMN-\angle MDA$，$\angle PBQ=\angle NBE=\angle PNM-\angle QED$，<br/>所以 $\angle PAQ=\angle PBQ$． 备注3