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  代几综合

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  函数与面积

当 $P$ 点坐标为 $\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{15}{4}\right)$ 时，四边形 $ABPC$ 的面积最大，最大面积为 $\dfrac{75}{8}$

把 $B、C$ 两点坐标代入抛物线解析式可得
$\begin{cases}9+3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
所以抛物线解析式为 $y=x^2-2x-3$．
如图，连接 $BC$，过 $P$ 做 $ y $ 轴的平行线，交 $BC$ 于点 $M$，交 $x$ 轴于点 $H$，在 $y=x^2-2x-3$ 中，令 $y=0$ 可得 $0=x^2-2x-3$，
解得 $x=-1或x=3$．
所以 $A$ 点坐标为 $\left(-1,0\right)$，
所以 $AB=3-\left(-1\right)=4$，且 $OC=3$，
所以
$\begin{split} S_{\triangle ABC} &=\dfrac{1}{2}AB\cdot OC\\ &=\dfrac{1}{2}\times 4\times 3\\ &=6.\end{split}$
因为 $B$ $\left(3,0\right)$，$C$ $\left(0,-3\right)$，
所以直线 $BC$ 解析式为 $y=x-3$．
设 $P$ 点坐标为 $\left(x,x^2-2x-3\right)$，则 $M$ 点坐标为 $\left(x,x-3\right)$，
因为 $P$ 点在第四限，
所以 $PM=x-3-\left(x^2-2x-3\right)=-x^2+3x$，
所以
$\begin{split}S_{\triangle PBC}&=\dfrac{1}{2}PM\cdot OH+\dfrac{1}{2}PM\cdot HB\\ &=\dfrac{1}{2}PM\cdot \left(OH+HB\right)\\ &=\dfrac{1}{2}PM\cdot OB\\ &=\dfrac{1}{2}PM,\end{split}$
所以当 $PM$ 有最大值时，
$\triangle PBC$ 的面积最大，则四边形 $ABPC$ 的面积最大．
因为 $PM=-x^2+3x=-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}$，
所以当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时，$PM_{max}=\dfrac{9}{4}$．则 $S_{\triangle PBC}=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{9}{4}=\dfrac{27}{8}$，
此时 $P$ 点坐标为 $\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{15}{4}\right)$．
则 $S_{四边形ABPC}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle PBC}=6+\dfrac{27}{8}=\dfrac{75}{8}$，
即当 $P$ 点坐标为 $\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{15}{4}\right)$ 时，四边形 $ABPC$ 的面积最大，最大面积为 $\dfrac{75}{8}$．

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  代几综合

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  相似三角形的存在性

直线 $m$ 解析式为 $y=\dfrac{1}{3}x-1$

如图，设直线 $m$ 交 $y$ 轴于点 $N$，交直线 $l$ 于点 $G$，则 $\angle AGP=\angle GNC+\angle GCN$．
当 $\triangle AGB$ 和 $\triangle NGC$ 相似时，必有 $\angle AGB=\angle CGB$．
又因为 $\angle AGB+\angle CGB=180^\circ$，
所以 $\angle AGB=\angle CGB=90^\circ$，
所以 $\angle ACO=\angle OBN$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle AON$ 和 $\mathrm {Rt}\triangle NOB$ 中
$\begin{cases}\angle AOC=\angle NOB\\OC=OB\\ \angle ACO=\angle NBO\end{cases}$
所以 $\mathrm {Rt}\triangle AON\cong \mathrm {Rt}\triangle NOB\left(ASA\right)$，
所以 $ON=OA=1$，
所以 $N$ 点坐标为 $\left(0,-1\right)$．
设直线 $m$ 解析式为 $y=kx+d$，把 $B、N$ 两点坐标代入可得
$\begin{cases}3k+d=0,\\d=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{3},\\d=-1,\end{cases}$
所以直线 $m$ 解析式为 $y=\dfrac{1}{3}x-1$，
即存在满足条件的直线 $m$，其解析式为 $y=\dfrac{1}{3}x-1$．