在三棱锥 $P-ABC$ 中，$\angle{APB}=\angle{BPC}=\angle{CPA}=90^{\circ}$，点 $D$ 为底面 $ABC$ 内一点，$PD$ 与平面 $PAB$ 所成的角为 $45^{\circ}$，$PD$ 与平面 $PBC$ 所成的角为 $30^{\circ}$．求 $PD$ 与平面 $PCA$ 所成的角的正弦值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
由题意，建立空间直角坐标系，取平面 $PAB$ 的一个法向量为 $(1,0,0)$，取平面 $PBC$ 的一个法向量为 $(0,1,0)$，取平面 $PCA$ 的一个法向量为 $(0,0,1)$，取直线 $PD$ 的一个方向向量为 $(a,b,c)$，设 $PD$ 与平面 $PCA$ 所成的角的正弦值为 $t$，则有$$\begin{cases}
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\
\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{1}{2},\\
\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=t,
\end{cases}$$将上述三式两边平方后再相加，可得 $t=\dfrac{1}{2}$．
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\
\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{1}{2},\\
\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=t,
\end{cases}$$将上述三式两边平方后再相加，可得 $t=\dfrac{1}{2}$．
答案
解析
备注
