从直线 $x+y-6=0$ 上一动点 $P$ 向圆 $x^2+y^2=4$ 引两条切线，切点分别为 $M,N$．设线段 $MN$ 的中点为 $Q$，求 $Q$ 点的轨迹．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3x^2-2x+3y^2-2y=0$
【解析】
设 $OP_0$ 与直线 $x+y-6=0$ 垂直，垂足为 $P_0$，从 $P_0$ 向圆 $x^2+y^2=4$ 引两条切线，切点分别为 $M_0,N_0$，设线段 $M_0N_0$ 的中点为 $Q_0$．由题意，$O,Q,P$ 三点共线，且$$\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OP}=\left|OM\right|^2=4,$$同理，$O,Q_0,P_0$ 三点共线，且$$\overrightarrow{OQ_0}\cdot \overrightarrow{OP_0}=\left|OM_0\right|^2=4=\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OP},$$故 $P,P_0,Q_0,Q$ 四点共圆，因此$$\angle{OQQ_0}=\dfrac{\pi}{2},$$于是 $Q$ 点的轨迹是以线段 $OQ_0$ 为直径的圆，其方程为 $3x^2-2x+3y^2-2y=0$．
答案
解析
备注
