已知 $O$ 是坐标原点，$A,B$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上的任意两点，$OA\perp OB$．求 $\triangle OAB$ 面积 $S$ 的最值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$S_{\min}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},S_{\max}=\dfrac{1}{2}ab $
【解析】
设 $| OA|=r_1,|OB|=r_2$，则有$$\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\geqslant \dfrac{2}{r_1 r_2}=\dfrac{1}{S} ,$$所以$$S\geqslant \dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}, $$当且仅当 $r_1=r_2$ 时等号成立．
因为 $r_2^2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{r_1^2}} $，所以$$4S^2=r_1^2 r_2^2=\dfrac{r_1^2}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{r_1^2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{r_1^2}\left ( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{r_1^2}\right )}.$$令 $t=\dfrac{1}{r_1^2}\in \left [\dfrac{1}{a^2},\dfrac{1}{b^2} \right ] $，$k=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} $，
记 $f(t)=t(k-t)$，则由二次函数的性质可知，$$f(t)\geqslant f \left ( \dfrac{1}{a^2}\right )=f \left ( \dfrac{1}{b^2}\right ) =\dfrac{1}{a^2b^2} ,$$所以 $4S^2\leqslant a^2b^2$，即$$S\leqslant \dfrac{1}{2}ab, $$当且仅当 $\begin{cases}r_1=a,\\r_2=b,\end{cases}$ 或者 $\begin{cases}r_1=b,\\r_2=a,\end{cases}$ 时等号成立．
综上所述，$S_{\min}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},S_{\max}=\dfrac{1}{2}ab $．
因为 $r_2^2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{r_1^2}} $，所以$$4S^2=r_1^2 r_2^2=\dfrac{r_1^2}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{r_1^2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{r_1^2}\left ( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{r_1^2}\right )}.$$令 $t=\dfrac{1}{r_1^2}\in \left [\dfrac{1}{a^2},\dfrac{1}{b^2} \right ] $，$k=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} $，
记 $f(t)=t(k-t)$，则由二次函数的性质可知，$$f(t)\geqslant f \left ( \dfrac{1}{a^2}\right )=f \left ( \dfrac{1}{b^2}\right ) =\dfrac{1}{a^2b^2} ,$$所以 $4S^2\leqslant a^2b^2$，即$$S\leqslant \dfrac{1}{2}ab, $$当且仅当 $\begin{cases}r_1=a,\\r_2=b,\end{cases}$ 或者 $\begin{cases}r_1=b,\\r_2=a,\end{cases}$ 时等号成立．
综上所述，$S_{\min}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},S_{\max}=\dfrac{1}{2}ab $．
答案
解析
备注
