设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为整数，其公差 $d\ne 0$，$a_5=6$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $a_2\cdot a_{10}>0$，求 $d$ 的值；标注答案$\pm 1$解析根据题意，有\[
a_2\cdot a_{10}=\left(a_5-3d\right)\left(a_5+5d\right)>0,\]故 $-\dfrac{6}{5}<d<2$．又因为 $d$ 是非零整数，所以 $d=\pm 1$． -
若 $a_3=2$，且 $a_3,a_5,a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_t},\cdots$ 成等比数列，其中 $5<n_1<n_2<\cdots<n_t<\cdots$，求 $n_t$ 的表达式；标注答案$n_t=3^{t+1}+2$，$t\in \mathbb{N}^{*}$解析易知 $a_n=2n-4$，故$$a_{n_t}=2\cdot 3^{t+1}=2n_t-4,$$解得$$n_t=3^{t+1}+2,t\in \mathbb{N}^{*}.$$
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若 $a_3,a_5,a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_t},\cdots$ 成等比数列，其中 $5<n_1<n_2<\cdots<n_t<\cdots$，
求 $n_1$ 所有可能取值构成的集合．标注答案$\{11\}$解析一方面，有$$a_{n_1}=a_3+\left(n_1-3\right)d=a_3+\dfrac{\left(n_1-3\right)\left(a_5-a_3\right)}{5-3}
=a_3+\dfrac{\left(n_1-3\right)\left(6-a_3\right)}{2}.$$另一方面，有$$a_{n_1}=\dfrac{a_5^2}{a_3}=\dfrac{36}{a_3},$$故\[a_3+\dfrac{\left(n_1-3\right)\left(6-a_3\right)}{2}=\dfrac{36}{a_3},\]解得$$n_1=5+\dfrac{12}{a_3}.$$因为 $n_1>5$，且 $n_1\in \mathbb{N}^{*}$，所以 $a_3=1,2,3,4,6,12$．逐一检验可知，只有 $a_3=2$ 满足题意，此时 $n_1=11$．故 $n_1$ 所有可能取值构成的集合为 $\{11\}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
