给定数列 $\{x_{n}\}$，证明：存在唯一分解 $x_{n}=y_{n}-z_{n}$，其中数列 $\{y_{n}\}$ 非负，$\{z_{n}\}$ 单调不减，并且 $y_{n}(z_{n}-z_{n-1})=0$，$z_{0}=0$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们只需证明对任意的正整数 $n$，满足\[\begin{cases}x_{n}=y_{n}-z_{n},\\ y_{n}(z_{n}-z_{n-1}=0,\\ y_{n}\geqslant 0,\\ z_{n}-z_{n-1}\geqslant ,z_{0}=0,\end{cases}\cdots\cdots\text{ ① }\]的 $(y_{n},z_{n})$ 存在且唯一．
下面用数学归纳法证明之．
归纳基础 当 $n=1$ 时，$$y_{1}(z_{1}-z_{0})=y_{1}z_{1}=0,$$这样有 $\begin{cases}y_{1}=0,\\ z_{1}=-x_{1},\end{cases}$ 或 $\begin{cases}y_{1}=x_{1},\\ z_{1}=0.\end{cases}$
若 $x_{1}\geqslant 0$，则$$\begin{cases}z_{1}=x_{1},\\ z_{1}=0.\end{cases}$$若 $x_{1}<0$，则$$\begin{cases}y_{1}=0,\\ z_{1}=-x_{1}.\end{cases}$$这样，当 $n=1$ 时命题成立．
递推证明 假设当 $n=k(k\geqslant 1)$ 时，命题成立．
当 $n=k+1$ 时，① 等价于$$\begin{cases}y_{k+1}-(z_{k+1}-z_{k})=x_{k+1}+z_{k},\\ y_{k+1}(z_{k+1}-z_{k})=0,\\ y_{k+1}\geqslant 0,\\ (z_{k+1}-z_{k})\geqslant 0,z_{0}=0,\end{cases}$$这样有$$\begin{cases}y_{k+1}=0,\\ z_{k+1}-z_{k}=-(x_{k+1}+z_{k}),\end{cases}$$或$$\begin{cases}y_{k+1}=x_{k+1}+z_{k},\\ z_{k+1}-z_{k}=0.\end{cases}$$故当 $n=k+1$ 时，等号成立．
因此由数学归纳法可知，对于任意的自然数 $n$ 命题均成立．
综上知，原问题得证．
下面用数学归纳法证明之．
若 $x_{1}\geqslant 0$，则$$\begin{cases}z_{1}=x_{1},\\ z_{1}=0.\end{cases}$$若 $x_{1}<0$，则$$\begin{cases}y_{1}=0,\\ z_{1}=-x_{1}.\end{cases}$$这样，当 $n=1$ 时命题成立．
当 $n=k+1$ 时，① 等价于$$\begin{cases}y_{k+1}-(z_{k+1}-z_{k})=x_{k+1}+z_{k},\\ y_{k+1}(z_{k+1}-z_{k})=0,\\ y_{k+1}\geqslant 0,\\ (z_{k+1}-z_{k})\geqslant 0,z_{0}=0,\end{cases}$$这样有$$\begin{cases}y_{k+1}=0,\\ z_{k+1}-z_{k}=-(x_{k+1}+z_{k}),\end{cases}$$或$$\begin{cases}y_{k+1}=x_{k+1}+z_{k},\\ z_{k+1}-z_{k}=0.\end{cases}$$故当 $n=k+1$ 时，等号成立．
因此由数学归纳法可知，对于任意的自然数 $n$ 命题均成立．
综上知，原问题得证．
答案
解析
备注
