如图，在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标是 $\left(5,4\right)$，$\odot M$ 与 $y$ 轴相切于点 $C$，与 $x$ 轴相交于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
设经过 $A,B$ 两点的抛物线解析式为 $y=\dfrac14\left(x-5\right)^2+k$，它的顶点为 $F$，求证：直线 $FA$ 与 $\odot M$ 相切；标注答案略解析连接 $MC,MA,MB$，则 $MC$ 垂直于 $y$ 轴，$MA=MC=5$，$MD=4$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle AMD$ 中，$AD=\sqrt {AM^2-MD^2}=3$．
同理在 $\mathrm {Rt}\triangle BMD$ 中，$BD=3$，
所以点 $A\left(2,0\right)$，点 $B\left(8,0\right)$，$C\left(0,4\right)$．
把 $A\left(2,0\right)$ 代入抛物线 $y=\dfrac14\left(x-5\right)^2+k$，解得 $k=-\dfrac{9}{4}$，
所以 $y=\dfrac14\left(x-5\right)^2-\dfrac94$，
所以点 $F\left(5,-\dfrac{9}{4}\right)$．
连接 $MA$．
则 $MF=4+\dfrac{9}{4}=\dfrac{25}{4}$，$AF=\sqrt {AD^2+FD^2}=\dfrac{15}{4}$，
所以 $FA^2+AM^2=MF^2=\dfrac{625}{16}$，
所以 $MA\perp AF$，
所以 $FA$ 与 $\odot M$ 相切． -
在抛物线的对称轴上，是否存在点 $P$，且点 $P$ 在 $x$ 轴的上方，使 $\triangle PBC$ 是等腰三角形？如果存在，请求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．标注答案存在，点 $P$ 的坐标为 $\left(5,4+\sqrt {55} \right)$，$\left(5,\sqrt {71} \right)$ 或 $\left(5,4\right)$解析设点 $P$ 的坐标为 $\left(5,h\right)$，
则 $CP^2=25+(h-4)^2$，$BP^2=9+h^2$，$BC^2=80$．
① 若 $BC=CP_1$，则有 $25+\left(h-4\right)^2=80$，
解得 $h=4\pm \sqrt {55} $．
因为点 $P_1$ 在 $x$ 轴上方，
故 $h=4+\sqrt {55} $，此时 $P_1\left(5,4+\sqrt {55}\right)$；
② 若 $BC=BP_2$，则有 $9+h^2=80$，
解得 $h= \pm \sqrt {71}$．
因为点 $P_2$ 在 $x$ 轴上方，
故 $h=\sqrt {71}$，此时 $P_2\left(5,\sqrt {71} \right)$；
③ 若 $P_3C=P_3B$，点 $P_3$ 和 $M$ 重合，此时 $P_3\left(5,4\right)$．
综上可得，抛物线的对称轴上存在点 $P$，使 $\triangle PBC$ 是等腰三角形，点 $P$ 的坐标为 $\left(5,4+\sqrt {55} \right)$，$\left(5,\sqrt {71} \right)$ 或 $\left(5,4\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
