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  代几综合

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  等腰三角形的存在性

存在，点 $E$ 的坐标为 $\left(8-2\sqrt5 ,- \sqrt5\right)$，$\left(0,-4\right)$，$\left(\dfrac{11}{2} ,-\dfrac54 \right)$

因为二次函数 $y=ax^2+bx-4$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A\left(-2,0\right),C\left(8,0\right)$ 两点，
所以 $\begin{cases}4a-2b-4=0,\\64a+8b-4=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\dfrac14,\\b=-\dfrac32,\end{cases}$
所以该二次函数的解析式为 $y= \dfrac14x^2-\dfrac32 x-4$，
所以点 $B\left(0,-4\right)$．
设直线 $BC$ 的解析式为 $y=kx+b$．
所以 $\begin{cases}8k+b=0,\\b=-4.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac12,\\b=-4,\end{cases}$
所以直线 $BC$ 的解析式为 $y=\dfrac12 x-4$．
设点 $E\left(m, \dfrac12m-4\right)$，则 $CE^2=\left(m-8\right)^2+\left( \dfrac12m-4\right)^2$．
由题意可得对称轴为 $x=3$，从而点 $D\left(3,0\right)$．
所以 $CD=5$，$CD^2=25$．
① 当 $CD=CE$ 时，有 $\left(m-8\right)^2+\left(\dfrac12 m-4\right)^2=5^2$．
解得 $m_1=8-2\sqrt5$，$m_2=8+2 \sqrt5$（舍去）．
此时点 $E\left(8-2\sqrt5 ,-\sqrt5 \right)$；
② 当 $DC=DE$ 时，有 $\left(m-3\right)^2+\left(\dfrac12 m-4\right)^2=5^2$．
解得 $m_1=0$，$m_2=8$（舍去），
此时点 $E\left(0,-4\right)$；
③ 当 $EC=DE$ 时，有 $\left(m-8\right)^2+\left( \dfrac12m-4\right)^2=\left(m-3\right)^2+\left(\dfrac12 m-4\right)^2$．
解得 $m=5.5$．
此时点 $E\left(\dfrac{11}{2} ,-\dfrac54 \right)$．
综上所述，存在点 $E$，使得 $\triangle CDE$ 为等腰三角形，所有符合条件的点 $E$ 的坐标为 $\left(8-2\sqrt5 ,- \sqrt5\right)$，$\left(0,-4\right)$，$\left(\dfrac{11}{2} ,-\dfrac54 \right)$．

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  代几综合

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  函数与面积

$\triangle PBD$ 的最大面积为 $\dfrac{289}{24}$，点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac{17}{3},-\dfrac{161}{36}\right)$

由第1问可得 $n=\dfrac14m^2- \dfrac32m-4$．
过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点 $F$．$\begin{split}\text{所以}S_{ \triangle PBD } &=S_{\text{梯形}OBPF}-S_{\triangle BOD}-S_{\triangle PFD}
\\&=\dfrac12 m\left[4-\left(\dfrac14 m^2- \dfrac32m-4\right)\right]-\dfrac12 \left(m-3\right)\left[-\left(\dfrac14 m^2-\dfrac32 m-4\right)\right]- \dfrac12×3×4
\\&=- \dfrac38m^2+\dfrac{17}{4} m
\\&=-\dfrac38 \left(m-\dfrac{17}{3} \right)^2+\dfrac{289}{24}. \end{split}$
所以当 $m=\dfrac{17}{3} $ 时，$\triangle PBD$ 的最大面积为 $\dfrac{289}{24}$，
所以点 $P$ 的坐标为 $\left( \dfrac{17}{3},- \dfrac{161}{36}\right)$．