椭圆 $C$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，若椭圆 $C$ 上恰好有 $6$ 个不同的点 $P$，使得 $\triangle F_1F_2P$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率的可能取值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
$\triangle PF_1F_2$ 的一边长为 $2c$，另外两边为椭圆的焦半径，考虑三边中哪条边为等腰三角形的底边，以此探究何时可以得到等腰三角形．
情形一 如果底边为 $F_1F_2$，则点 $P$ 为短轴的两个顶点，得到两个不同的点；
情形二 如果 $F_1F_2$ 不为底边，不妨考虑以 $PF_2$ 为底边（以 $PF_1$ 为底边的情况完全相同），此时 $PF_1=F_1F_2=2c$．故椭圆上能找到两点，使得 $PF_1=2c$，由焦半径的取值范围知$$2c\in[a-c,a+c],$$又 $P,F_1,F_2$ 三点不共线，故 $2c\ne a-c$，解得 $e>\dfrac 13$．
最后，我们需要考虑，情形一与情形二中得到的点 $P$ 是否一定是不同的点？
事实上，当等腰 $\triangle PF_1F_2$ 是等边三角形时，上面的六个点会重合成两个点，此时 $a=2c$，不满足题意，故 $e\ne\dfrac 12$．
综上知，$\dfrac 13<e<1$，且 $e\ne \dfrac 12$．
最后，我们需要考虑，情形一与情形二中得到的点 $P$ 是否一定是不同的点？事实上，当等腰 $\triangle PF_1F_2$ 是等边三角形时，上面的六个点会重合成两个点，此时 $a=2c$，不满足题意，故 $e\ne\dfrac 12$．
综上知，$\dfrac 13<e<1$，且 $e\ne \dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
