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  代几综合

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  函数与面积

点 $P\left(-\dfrac 9 2 ,-\dfrac 5 4 \right)$

因为 $ AC\parallel x $ 轴，$ A\left(0,1\right) $．
所以 $ \dfrac 1 3 x^2+2x+1=1 $，
所以 $ x_1=6 $，$ x_2=0 $，
所以点 $ C $ 的坐标 $ \left(-6,1\right) $．
因为点 $ A\left(0,1\right) $，$ B\left(-9,10\right) $，
所以直线 $ AB $ 的解析式为 $ y=-x+1 $．
设点 $ P\left(m, \dfrac 1 3 m^2+2m+1\right) $
所以 $ E\left(m,-m+1\right) $，
所以 $ PE=-m+1-\left( \dfrac 1 3 m^2+2m+1\right)=-\dfrac 1 3 m^2-3m $．
因为 $ AC\perp EP $，$ AC=6 $，
所以
$\begin{split}S_{四边形AECP}=&S_{\triangle AEC}+S_{\triangle APC}\\=& \dfrac 1 2 AC\times EF+ \dfrac 1 2 AC\times PF\\=& \dfrac 1 2 AC\times \left(EF+PF\right)\\=&\dfrac 1 2 AC\times PE\\=& \dfrac 1 2 \times 6\times \left(-\dfrac 1 3 m^2-3m\right)\\=&-m^2-9m\\=&-\left(m+\dfrac 9 2 \right)^2+\dfrac {81} 4,\end{split}$
因为 $-6<m<0$，
所以当 $m=-\dfrac 9 2 $ 时，四边形 $AECP$ 的面积的最大值是 $ \dfrac {81} 4 $，
此时点 $P\left(-\dfrac 9 2 ,-\dfrac 5 4 \right)$．

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  代几综合

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  相似三角形的存在性

$ Q\left(3,1\right) $

因为 $y= \dfrac 1 3 x^2+2x+1= \dfrac 1 3 \left(x+3\right)^2-2$，
所以 $P\left(-3,-2\right)$，
所以 $PF=y_F-y_P=3$，$CF=x_F-x_C=3$，
所以 $PF=CF$，
所以 $\angle PCF=45^\circ $．
同理可得：$\angle EAF=45^\circ $，
所以 $\angle PCF=\angle EAF$，
所以在直线 $AC$ 上存在满足条件的 $Q$．
设 $Q\left(t,1\right)$ 且 $AB=9\sqrt{2}$，$AC=6$，$CP=3\sqrt{2}$．
因为以 $C$，$P$，$Q$ 为顶点的三角形与 $\triangle ABC$ 相似，
① 当 $\triangle CPQ\backsim \triangle ABC$ 时，
所以 $ \dfrac {CQ} {AC} =\dfrac {CP} {AB} $，
所以 $\dfrac {t+6} {6} =\dfrac {3\sqrt{2}} {9\sqrt{2}} $，
所以 $t=-4$，
所以 $Q\left(-4,1\right)$．
② 当 $\triangle CQP\backsim \triangle ABC$ 时，
所以 $\dfrac {CQ} {AB} =\dfrac {CP} {AC} $，
所以 $\dfrac {t+6} {9\sqrt{2}} =\dfrac {3\sqrt{2}} 6 $，
所以 $t=3$，
所以 $ Q\left(3,1\right) $．