如图，已知二次函数 $y=a{x^2}+\dfrac{3}{2}x+c$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A\left(0,4\right)$，与 $x$ 轴交于点 $B,C$，点 $C$ 坐标为 $\left(8,0\right)$，连接 $AB,AC$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若点 $N$ 在 $x$ 轴上运动，当以点 $A,N,C$ 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点 $N$ 的坐标；标注答案点 $N$ 坐标为 $\left(-8,0\right),\left(8-4\sqrt 5 ,0\right),\left(8+4\sqrt 5 ,0\right)$ 或 $\left(3,0\right)$解析由 $A\left(0,4\right),C\left(8,0\right)$，可得 $AC=4\sqrt 5$．
① 以 $A$ 为圆心，以 $AC$ 长为半径作圆，交 $x$ 轴于 $N$，此时 $N$ 的坐标为 $\left(-8,0\right)$；
② 以 $C$ 为圆心，以 $AC$ 长为半径作圆，交 $x$ 轴于 $N$，此时 $N$ 的坐标为 $\left(8-4\sqrt 5 ,0\right)$ 或 $\left(8+4\sqrt 5 ,0\right)$；
③ 作 $AC$ 的垂直平分线，交 $x$ 轴于 $N$，此时 $N$ 的坐标为 $\left(3,0\right)$． -
若点 $N$ 在线段 $BC$ 上运动（不与点 $B$，$C$ 重合），过点 $N$ 作 $NM\parallel AC$，交 $AB$ 于点 $M$，当 $\triangle AMN$ 面积最大时，求此时点 $N$ 的坐标．标注答案点 $N$ 的坐标为 $\left(3,0\right)$解析将点 $A,C$ 的坐标代入抛物线解析式，可得 $\begin{cases}c=4,\\ 64a+12+c=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-\dfrac 14,\\ c=4.\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=-\dfrac 14{x^2} + \dfrac 32x + 4$．
从而得到点 $B$ 的坐标为 $\left(-2,0\right)$．
设点 $N$ 的坐标为 $\left(n,0\right)$，则 $BN=n+2$．
如图，过 $M$ 点作 $MD\perp x$ 轴于点 $D$．
所以 $MD\parallel OA$，
所以 $\triangle BMD\backsim \triangle BAO$，
所以 $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{MD}{OA}$．
因为 $MN\parallel AC$，
所以 $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}$，
所以 $\dfrac{MD}{OA}=\dfrac{BN}{BC}$．
因为 $OA=4$，$BC=10$，$BN=n+2 $，
所以 $MD=\dfrac25\left(n+2\right)$，
$\begin{split}\text{所以}S_{\triangle AMN}&=S_{\triangle ABN}-S_{\triangle BMN}
\\&=\dfrac{1}{2}\cdot BN\cdot OA-\dfrac{1}{2}BN\cdot MD
\\&=\dfrac{1}{2}\times \left({n+2}\right)\times 4-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{5}\left({n+2}\right)\times \left({n+2}\right)
\\&=-\dfrac15\left(n-3\right)^2+5.\end{split}$
所以当 $n=3$ 时，$\triangle AMN$ 面积最大，此时点 $N$ 的坐标为 $\left(3,0\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
