如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，开口向上的抛物线与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，$D$ 为抛物线的顶点，$O$ 为坐标原点，若 $A,B$（$OA<OB$）两点的横坐标分别是方程 $x^2-2x-3=0$ 的两根，且 $\angle DAB=45^\circ$
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求抛物线对应的二次函数解析式；标注答案$y=\dfrac 12\left(x-1\right)^2-2$解析解方程 $x^2-2x-3=0$ 得 $x_1=-1,x_2=3$，而 $OA<OB$，
则点 $A$ 的坐标为 $\left(-1,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(3,0\right)$，
过点 $D$ 作 $DD_1\perp x$ 轴于 $D_1$，则 $D_1$ 为 $AB$ 的中点，
所以 $D_1$ 的坐标为 $\left(1,0\right)$．
因为 $\angle DAB=45^\circ$，
所以 $AD_1=DD_1=2$．
所以 $D$ 的坐标为 $\left(1,-2\right)$．
令抛物线的解析式为 $y=a\left(x-1\right)^2-2$，
因为抛物线过点 $A\left(-1,0\right)$，
所以则 $0=4a-2$，得 $a=\dfrac 12$．
所以抛物线的解析式为 $y=\dfrac 12\left(x-1\right)^2-2$．
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若 $C$ 点坐标 $\left(5,6\right)$，过点 $A$ 任作直线 $l$ 交线段 $CD$ 于点 $P$，若点 $C,D$ 到直线 $l$ 的距离分别记为 $d_1,d_2$，试求 $d_1+d_2$ 的最大值．标注答案$d_1+d_2$ 的最大值为 $4\sqrt 5$解析由已知可得 $AC=6\sqrt 2$，$AD=2\sqrt 2$，$DC=4\sqrt 5$，
所以 $AC^2+AD^2=DC^2$，
所以 $\angle CAD=90^\circ$．
过 $A$ 作 $AM\perp CD$ 于点 $M$，
因为 $\dfrac 12AC\times AD=\dfrac 12DC\times AM$，
所以 $AM=\dfrac{24}{4\sqrt 5}=\dfrac{6\sqrt 5}{5}$．
因为 $S_{\triangle ADC}=S_{\triangle APD}+S_{\triangle APC}$，
所以 $\dfrac 12\times AC\times AD=\dfrac12\times AP\times d_1+\dfrac 12\times AP\times d_2$，
$d_1+d_2=\dfrac{24}{AP}\leqslant \dfrac{24}{AM}=24\times \dfrac{5}{6\sqrt 5}=4\sqrt 5$．
即此时 $d_1+d_2$ 的最大值为 $4\sqrt 5$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
