如图，抛物线 $y=ax^2+c$（$a\ne 0$）经过 $C\left(2,0\right),D\left(0,-1\right)$ 两点，并与直线 $y=kx$ 交于 $A,B$ 两点，直线 $l$ 过点 $E\left(0,-2\right)$ 且平行于 $x$ 轴，过 $A,B$ 两点分别作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为点 $M,N$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求抛物线的解析式；标注答案$y=\dfrac 14x^2-1$解析因为抛物线 $y=ax^2+c$（$a\ne 0$）经过 $C\left(2,0\right)$，$D\left(0,-1\right)$．
所以 $\begin{cases}4a+c=0,\\ c=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\dfrac 14,\\ c=-1.\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=\dfrac 14x^2-1$． -
无论 $k$ 取何值，$\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{BN}$ 的值为定值．标注答案无论 $k$ 取何值，$\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{BN}=1$解析设点 $A\left(x_1,\dfrac 14x_1^2-1\right)$，$B\left(x_2,\dfrac 14x_2^2-1\right)$，
则 $\dfrac {1}{AM}+\dfrac {1}{BN}=\dfrac{1}{\dfrac 14x_1^2+1}+\dfrac{1}{\dfrac 14x_2^2+1}=\dfrac{4\left(x_1^2+4+x_2^2+4\right)}{\left(x_1^2+4\right)\left(x_2^2+4\right)}=\dfrac{4\left(x_1^2+x_2^2+8\right)}{x_1^2\cdot x_2^2+4\left(x_1^2+x_2^2\right)+16}.$
联立 $\begin{cases}y=kx,\\y=\dfrac 14x^2-1,\end{cases}$ 可得 $x^2-4kx-4=0$．
由根与系数关系得 $x_1+x_2=4k,x_1\cdot x_2=-4$．
所以 $x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1\cdot x_2=16k^2+8,$ $x_1^2\cdot x_2^2=16$．
所以 $\dfrac {1}{AM}+\dfrac{1}{BN}=\dfrac{4\left(16k^2+8+8\right)}{16+4\left(16k^2+8\right)+16}=\dfrac{64\left(k^2+1\right)}{64\left(k^2+1\right)}=1$．
所以无论 $k$ 取何值，$\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{BN}=1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
